Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58338 / 86687
↖ ↑ ↗
← S 50.118817°
W 19.769897°		 ← 195.80 m → S 50.118817°
W 19.767151°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
S 50.120578°
W 19.769897°		 ← 195.79 m →
38 345 m²		 S 50.120578°
W 19.767151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445087432861328 y=0.661373138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445087432861328 × 217)
    floor (0.445087432861328 × 131072)
    floor (58338.5)     		tx = 58338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661373138427734 × 217)
    floor (0.661373138427734 × 131072)
    floor (86687.5)     		ty = 86687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58338 / 86687 ti = "17/58338/86687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58338/86687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58338 ÷ 217
    58338 ÷ 131072     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86687 ÷ 217
    86687 ÷ 131072     		y = 0.661369323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661369323730469 × 2 - 1) × π
    -0.322738647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.01391336386381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01391336386381))-π/2
    2×atan(0.362796443444535)-π/2
    2×0.34802897623147-π/2
    0.69605795246294-1.57079632675     		φ = -0.87473837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87473837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.118817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58338 KachelY 86687 -0.34504980 -0.87473837 -19.769897 -50.118817
    Oben rechts KachelX + 1 58339 KachelY 86687 -0.34500187 -0.87473837 -19.767151 -50.118817
    Unten links KachelX 58338 KachelY + 1 86688 -0.34504980 -0.87476911 -19.769897 -50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 58339 KachelY + 1 86688 -0.34500187 -0.87476911 -19.767151 -50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87473837--0.87476911) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87473837--0.87476911) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(-0.87473837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641197648629324 × 6371000     		do = 195.797415616797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(-0.87476911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 195.790212299291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87473837)-sin(-0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641197648629324-0.641174059195149)×R²
    abs(-0.34500187--0.34504980)×2.35894341754639e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35894341754639e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35894341754639e-05×40589641000000     		ar = 38345.1494324956m²