Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58338 / 86301
↖ ↑ ↗
← S 49.434199°
W 19.769897°		 ← 198.58 m → S 49.434199°
W 19.767151°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
S 49.435985°
W 19.769897°		 ← 198.58 m →
39 447 m²		 S 49.435985°
W 19.767151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445087432861328 y=0.658428192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445087432861328 × 217)
    floor (0.445087432861328 × 131072)
    floor (58338.5)     		tx = 58338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658428192138672 × 217)
    floor (0.658428192138672 × 131072)
    floor (86301.5)     		ty = 86301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58338 / 86301 ti = "17/58338/86301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58338/86301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58338 ÷ 217
    58338 ÷ 131072     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86301 ÷ 217
    86301 ÷ 131072     		y = 0.658424377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658424377441406 × 2 - 1) × π
    -0.316848754882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.995409720610466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995409720610466))-π/2
    2×atan(0.369571992257337)-π/2
    2×0.354003397574077-π/2
    0.708006795148154-1.57079632675     		φ = -0.86278953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86278953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.434199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58338 KachelY 86301 -0.34504980 -0.86278953 -19.769897 -49.434199
    Oben rechts KachelX + 1 58339 KachelY 86301 -0.34500187 -0.86278953 -19.767151 -49.434199
    Unten links KachelX 58338 KachelY + 1 86302 -0.34504980 -0.86282071 -19.769897 -49.435985
    Unten rechts KachelX + 1 58339 KachelY + 1 86302 -0.34500187 -0.86282071 -19.767151 -49.435985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86278953--0.86282071) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dl = 198.647780000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86278953--0.86282071) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dr = 198.647780000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(-0.86278953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650320907879151 × 6371000     		do = 198.583312581542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(-0.86282071) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650297221376525 × 6371000     		du = 198.576079623017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86278953)-sin(-0.86282071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650320907879151-0.650297221376525)×R²
    abs(-0.34500187--0.34504980)×2.36865026254085e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36865026254085e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36865026254085e-05×40589641000000     		ar = 39447.4157869695m²