Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58338 / 81632
↖ ↑ ↗
← S 40.380029°
W 19.769897°		 ← 232.61 m → S 40.380029°
W 19.767151°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
S 40.382120°
W 19.769897°		 ← 232.61 m →
54 106 m²		 S 40.382120°
W 19.767151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445087432861328 y=0.622806549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445087432861328 × 217)
    floor (0.445087432861328 × 131072)
    floor (58338.5)     		tx = 58338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622806549072266 × 217)
    floor (0.622806549072266 × 131072)
    floor (81632.5)     		ty = 81632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58338 / 81632 ti = "17/58338/81632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58338/81632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58338 ÷ 217
    58338 ÷ 131072     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81632 ÷ 217
    81632 ÷ 131072     		y = 0.622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.771592336284424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771592336284424))-π/2
    2×atan(0.462276382483838)-π/2
    2×0.433015939569519-π/2
    0.866031879139039-1.57079632675     		φ = -0.70476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.380029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58338 KachelY 81632 -0.34504980 -0.70476445 -19.769897 -40.380029
    Oben rechts KachelX + 1 58339 KachelY 81632 -0.34500187 -0.70476445 -19.767151 -40.380029
    Unten links KachelX 58338 KachelY + 1 81633 -0.34504980 -0.70480096 -19.769897 -40.382120
    Unten rechts KachelX + 1 58339 KachelY + 1 81633 -0.34500187 -0.70480096 -19.767151 -40.382120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70476445--0.70480096) × R
    3.65100000000451e-05 × 6371000     		dl = 232.605210000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70476445--0.70480096) × R
    3.65100000000451e-05 × 6371000     		dr = 232.605210000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(-0.70476445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.761764175000645 × 6371000     		do = 232.613854859615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(-0.70480096) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.761740521328288 × 6371000     		du = 232.606631926207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70476445)-sin(-0.70480096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761764175000645-0.761740521328288)×R²
    abs(-0.34500187--0.34504980)×2.36536723565717e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36536723565717e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36536723565717e-05×40589641000000     		ar = 54106.3545186501m²