Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58338 / 36322
↖ ↑ ↗
← N 62.306241°
W 19.769897°		 ← 141.92 m → N 62.306241°
W 19.767151°		 →
↑
141.95 m
↓
↑
141.95 m
↓
N 62.304964°
W 19.769897°		 ← 141.92 m →
20 145 m²		 N 62.304964°
W 19.767151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445087432861328 y=0.277118682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445087432861328 × 217)
    floor (0.445087432861328 × 131072)
    floor (58338.5)     		tx = 58338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277118682861328 × 217)
    floor (0.277118682861328 × 131072)
    floor (36322.5)     		ty = 36322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58338 / 36322 ti = "17/58338/36322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58338/36322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58338 ÷ 217
    58338 ÷ 131072     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36322 ÷ 217
    36322 ÷ 131072     		y = 0.277114868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277114868164062 × 2 - 1) × π
    0.445770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40042858550032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40042858550032))-π/2
    2×atan(4.05693833924536)-π/2
    2×1.32912268729761-π/2
    2.65824537459521-1.57079632675     		φ = 1.08744905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08744905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.306241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58338 KachelY 36322 -0.34504980 1.08744905 -19.769897 62.306241
    Oben rechts KachelX + 1 58339 KachelY 36322 -0.34500187 1.08744905 -19.767151 62.306241
    Unten links KachelX 58338 KachelY + 1 36323 -0.34504980 1.08742677 -19.769897 62.304964
    Unten rechts KachelX + 1 58339 KachelY + 1 36323 -0.34500187 1.08742677 -19.767151 62.304964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08744905-1.08742677) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dl = 141.945880000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08744905-1.08742677) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dr = 141.945880000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(1.08744905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.464745600574416 × 6371000     		do = 141.91566002506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(1.08742677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.464765328157041 × 6371000     		du = 141.921684079737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08744905)-sin(1.08742677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464745600574416-0.464765328157041)×R²
    abs(-0.34500187--0.34504980)×1.97275826255838e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97275826255838e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97275826255838e-05×40589641000000     		ar = 20144.7707939425m²