Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58338 / 35870
↖ ↑ ↗
← N 62.877692°
W 19.769897°		 ← 139.21 m → N 62.877692°
W 19.767151°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
N 62.876441°
W 19.769897°		 ← 139.22 m →
19 380 m²		 N 62.876441°
W 19.767151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445087432861328 y=0.273670196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445087432861328 × 217)
    floor (0.445087432861328 × 131072)
    floor (58338.5)     		tx = 58338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273670196533203 × 217)
    floor (0.273670196533203 × 131072)
    floor (35870.5)     		ty = 35870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58338 / 35870 ti = "17/58338/35870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58338/35870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58338 ÷ 217
    58338 ÷ 131072     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35870 ÷ 217
    35870 ÷ 131072     		y = 0.273666381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273666381835938 × 2 - 1) × π
    0.452667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42209606412859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42209606412859))-π/2
    2×atan(4.14580120454293)-π/2
    2×1.33410954586469-π/2
    2.66821909172937-1.57079632675     		φ = 1.09742276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09742276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.877692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58338 KachelY 35870 -0.34504980 1.09742276 -19.769897 62.877692
    Oben rechts KachelX + 1 58339 KachelY 35870 -0.34500187 1.09742276 -19.767151 62.877692
    Unten links KachelX 58338 KachelY + 1 35871 -0.34504980 1.09740091 -19.769897 62.876441
    Unten rechts KachelX + 1 58339 KachelY + 1 35871 -0.34500187 1.09740091 -19.767151 62.876441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09742276-1.09740091) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09742276-1.09740091) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(1.09742276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455891467710003 × 6371000     		do = 139.211944039691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34500187) × cos(1.09740091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.45591091487413 × 6371000     		du = 139.217882465207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09742276)-sin(1.09740091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455891467710003-0.45591091487413)×R²
    abs(-0.34500187--0.34504980)×1.94471641270511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94471641270511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94471641270511e-05×40589641000000     		ar = 19379.5999402726m²