Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58336 / 81504
↖ ↑ ↗
← S 40.111689°
W 19.775391°		 ← 233.59 m → S 40.111689°
W 19.772644°		 →
↑
233.56 m
↓
↑
233.56 m
↓
S 40.113789°
W 19.775391°		 ← 233.58 m →
54 556 m²		 S 40.113789°
W 19.772644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445072174072266 y=0.621829986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445072174072266 × 217)
    floor (0.445072174072266 × 131072)
    floor (58336.5)     		tx = 58336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621829986572266 × 217)
    floor (0.621829986572266 × 131072)
    floor (81504.5)     		ty = 81504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58336 / 81504 ti = "17/58336/81504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58336/81504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58336 ÷ 217
    58336 ÷ 131072     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81504 ÷ 217
    81504 ÷ 131072     		y = 0.621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.24365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.765456413133057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765456413133057))-π/2
    2×atan(0.465121594917128)-π/2
    2×0.435357645531044-π/2
    0.870715291062089-1.57079632675     		φ = -0.70008104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70008104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.111689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58336 KachelY 81504 -0.34514568 -0.70008104 -19.775391 -40.111689
    Oben rechts KachelX + 1 58337 KachelY 81504 -0.34509774 -0.70008104 -19.772644 -40.111689
    Unten links KachelX 58336 KachelY + 1 81505 -0.34514568 -0.70011770 -19.775391 -40.113789
    Unten rechts KachelX + 1 58337 KachelY + 1 81505 -0.34509774 -0.70011770 -19.772644 -40.113789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70008104--0.70011770) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dl = 233.560859999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70008104--0.70011770) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dr = 233.560859999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34509774) × cos(-0.70008104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764789977371628 × 6371000     		do = 233.58654478343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34509774) × cos(-0.70011770) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764766357565085 × 6371000     		du = 233.579330686538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70008104)-sin(-0.70011770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764789977371628-0.764766357565085)×R²
    abs(-0.34509774--0.34514568)×2.36198065429738e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36198065429738e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36198065429738e-05×40589641000000     		ar = 54555.8318246037m²