Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58334 / 86306
↖ ↑ ↗
← S 49.443129°
W 19.780884°		 ← 198.59 m → S 49.443129°
W 19.778137°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
S 49.444915°
W 19.780884°		 ← 198.58 m →
39 436 m²		 S 49.444915°
W 19.778137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445056915283203 y=0.658466339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445056915283203 × 217)
    floor (0.445056915283203 × 131072)
    floor (58334.5)     		tx = 58334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658466339111328 × 217)
    floor (0.658466339111328 × 131072)
    floor (86306.5)     		ty = 86306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58334 / 86306 ti = "17/58334/86306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58334/86306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58334 ÷ 217
    58334 ÷ 131072     		x = 0.445053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86306 ÷ 217
    86306 ÷ 131072     		y = 0.658462524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    -0.109893798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34524155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658462524414062 × 2 - 1) × π
    -0.316925048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.995649405108566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34524155} λ = -0.34524155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995649405108566))-π/2
    2×atan(0.369483422194721)-π/2
    2×0.35392546874914-π/2
    0.707850937498281-1.57079632675     		φ = -0.86294539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34524155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.780884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86294539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.443129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58334 KachelY 86306 -0.34524155 -0.86294539 -19.780884 -49.443129
    Oben rechts KachelX + 1 58335 KachelY 86306 -0.34519361 -0.86294539 -19.778137 -49.443129
    Unten links KachelX 58334 KachelY + 1 86307 -0.34524155 -0.86297656 -19.780884 -49.444915
    Unten rechts KachelX + 1 58335 KachelY + 1 86307 -0.34519361 -0.86297656 -19.778137 -49.444915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86294539--0.86297656) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86294539--0.86297656) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34524155--0.34519361) × cos(-0.86294539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650202499434552 × 6371000     		do = 198.588579539747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34524155--0.34519361) × cos(-0.86297656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650178817369711 × 6371000     		du = 198.581346427568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86294539)-sin(-0.86297656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650202499434552-0.650178817369711)×R²
    abs(-0.34519361--0.34524155)×2.36820648419345e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36820648419345e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36820648419345e-05×40589641000000     		ar = 39435.8101933083m²