Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58334 / 38432
↖ ↑ ↗
← N 59.489726°
W 19.780884°		 ← 155.06 m → N 59.489726°
W 19.778137°		 →
↑
155.07 m
↓
↑
155.07 m
↓
N 59.488331°
W 19.780884°		 ← 155.07 m →
24 046 m²		 N 59.488331°
W 19.778137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445056915283203 y=0.293216705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445056915283203 × 217)
    floor (0.445056915283203 × 131072)
    floor (58334.5)     		tx = 58334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293216705322266 × 217)
    floor (0.293216705322266 × 131072)
    floor (38432.5)     		ty = 38432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58334 / 38432 ti = "17/58334/38432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58334/38432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58334 ÷ 217
    58334 ÷ 131072     		x = 0.445053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38432 ÷ 217
    38432 ÷ 131072     		y = 0.293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    -0.109893798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34524155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293212890625 × 2 - 1) × π
    0.41357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.299281727302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34524155} λ = -0.34524155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.299281727302))-π/2
    2×atan(3.66666205829928)-π/2
    2×1.30454395860278-π/2
    2.60908791720556-1.57079632675     		φ = 1.03829159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34524155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.780884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03829159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.489726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58334 KachelY 38432 -0.34524155 1.03829159 -19.780884 59.489726
    Oben rechts KachelX + 1 58335 KachelY 38432 -0.34519361 1.03829159 -19.778137 59.489726
    Unten links KachelX 58334 KachelY + 1 38433 -0.34524155 1.03826725 -19.780884 59.488331
    Unten rechts KachelX + 1 58335 KachelY + 1 38433 -0.34519361 1.03826725 -19.778137 59.488331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03829159-1.03826725) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dl = 155.07013999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03829159-1.03826725) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dr = 155.07013999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34524155--0.34519361) × cos(1.03829159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507692857778521 × 6371000     		do = 155.062466779797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34524155--0.34519361) × cos(1.03826725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507713827466395 × 6371000     		du = 155.068871462234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03829159)-sin(1.03826725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507692857778521-0.507713827466395)×R²
    abs(-0.34519361--0.34524155)×2.09696878740173e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09696878740173e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09696878740173e-05×40589641000000     		ar = 24046.055020929m²