Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58333 / 86358
↖ ↑ ↗
← S 49.535904°
W 19.783630°		 ← 198.21 m → S 49.535904°
W 19.780884°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
S 49.537687°
W 19.783630°		 ← 198.21 m →
39 285 m²		 S 49.537687°
W 19.780884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445049285888672 y=0.658863067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445049285888672 × 217)
    floor (0.445049285888672 × 131072)
    floor (58333.5)     		tx = 58333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658863067626953 × 217)
    floor (0.658863067626953 × 131072)
    floor (86358.5)     		ty = 86358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58333 / 86358 ti = "17/58333/86358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58333/86358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58333 ÷ 217
    58333 ÷ 131072     		x = 0.445045471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86358 ÷ 217
    86358 ÷ 131072     		y = 0.658859252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445045471191406 × 2 - 1) × π
    -0.109909057617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34528949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658859252929688 × 2 - 1) × π
    -0.317718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.998142123888809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34528949} λ = -0.34528949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.998142123888809))-π/2
    2×atan(0.368563550895771)-π/2
    2×0.353115850010595-π/2
    0.706231700021189-1.57079632675     		φ = -0.86456463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34528949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.783630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86456463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.535904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58333 KachelY 86358 -0.34528949 -0.86456463 -19.783630 -49.535904
    Oben rechts KachelX + 1 58334 KachelY 86358 -0.34524155 -0.86456463 -19.780884 -49.535904
    Unten links KachelX 58333 KachelY + 1 86359 -0.34528949 -0.86459574 -19.783630 -49.537687
    Unten rechts KachelX + 1 58334 KachelY + 1 86359 -0.34524155 -0.86459574 -19.780884 -49.537687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86456463--0.86459574) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.201810000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86456463--0.86459574) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.201810000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34528949--0.34524155) × cos(-0.86456463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648971412247135 × 6371000     		do = 198.212573824296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34528949--0.34524155) × cos(-0.86459574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648947743047099 × 6371000     		du = 198.20534464136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86456463)-sin(-0.86459574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648971412247135-0.648947743047099)×R²
    abs(-0.34524155--0.34528949)×2.36692000359362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36692000359362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36692000359362e-05×40589641000000     		ar = 39285.3744811873m²