Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58333 / 38439
↖ ↑ ↗
← N 59.479964°
W 19.783630°		 ← 155.11 m → N 59.479964°
W 19.780884°		 →
↑
155.13 m
↓
↑
155.13 m
↓
N 59.478569°
W 19.783630°		 ← 155.11 m →
24 063 m²		 N 59.478569°
W 19.780884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445049285888672 y=0.293270111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445049285888672 × 217)
    floor (0.445049285888672 × 131072)
    floor (58333.5)     		tx = 58333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293270111083984 × 217)
    floor (0.293270111083984 × 131072)
    floor (38439.5)     		ty = 38439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58333 / 38439 ti = "17/58333/38439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58333/38439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58333 ÷ 217
    58333 ÷ 131072     		x = 0.445045471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38439 ÷ 217
    38439 ÷ 131072     		y = 0.293266296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445045471191406 × 2 - 1) × π
    -0.109909057617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34528949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293266296386719 × 2 - 1) × π
    0.413467407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.29894616900466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34528949} λ = -0.34528949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29894616900466))-π/2
    2×atan(3.66543188583091)-π/2
    2×1.30445876601395-π/2
    2.6089175320279-1.57079632675     		φ = 1.03812121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34528949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.783630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03812121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.479964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58333 KachelY 38439 -0.34528949 1.03812121 -19.783630 59.479964
    Oben rechts KachelX + 1 58334 KachelY 38439 -0.34524155 1.03812121 -19.780884 59.479964
    Unten links KachelX 58333 KachelY + 1 38440 -0.34528949 1.03809686 -19.783630 59.478569
    Unten rechts KachelX + 1 58334 KachelY + 1 38440 -0.34524155 1.03809686 -19.780884 59.478569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03812121-1.03809686) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dl = 155.133849999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03812121-1.03809686) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dr = 155.133849999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34528949--0.34524155) × cos(1.03812121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.507839639276662 × 6371000     		do = 155.107297627306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34528949--0.34524155) × cos(1.03809686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.507860615473154 × 6371000     		du = 155.113704297642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03812121)-sin(1.03809686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507839639276662-0.507860615473154)×R²
    abs(-0.34524155--0.34528949)×2.09761964915511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09761964915511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09761964915511e-05×40589641000000     		ar = 24062.8891909131m²