Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58333 / 35997
↖ ↑ ↗
← N 62.718239°
W 19.783630°		 ← 140 m → N 62.718239°
W 19.780884°		 →
↑
139.97 m
↓
↑
139.97 m
↓
N 62.716980°
W 19.783630°		 ← 140 m →
19 596 m²		 N 62.716980°
W 19.780884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445049285888672 y=0.274639129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445049285888672 × 217)
    floor (0.445049285888672 × 131072)
    floor (58333.5)     		tx = 58333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274639129638672 × 217)
    floor (0.274639129638672 × 131072)
    floor (35997.5)     		ty = 35997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58333 / 35997 ti = "17/58333/35997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58333/35997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58333 ÷ 217
    58333 ÷ 131072     		x = 0.445045471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35997 ÷ 217
    35997 ÷ 131072     		y = 0.274635314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445045471191406 × 2 - 1) × π
    -0.109909057617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34528949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274635314941406 × 2 - 1) × π
    0.450729370117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.41600807787684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34528949} λ = -0.34528949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41600807787684))-π/2
    2×atan(4.12063829724294)-π/2
    2×1.33271805065318-π/2
    2.66543610130636-1.57079632675     		φ = 1.09463977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34528949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.783630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09463977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.718239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58333 KachelY 35997 -0.34528949 1.09463977 -19.783630 62.718239
    Oben rechts KachelX + 1 58334 KachelY 35997 -0.34524155 1.09463977 -19.780884 62.718239
    Unten links KachelX 58333 KachelY + 1 35998 -0.34528949 1.09461780 -19.783630 62.716980
    Unten rechts KachelX + 1 58334 KachelY + 1 35998 -0.34524155 1.09461780 -19.780884 62.716980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09463977-1.09461780) × R
    2.19699999999268e-05 × 6371000     		dl = 139.970869999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09463977-1.09461780) × R
    2.19699999999268e-05 × 6371000     		dr = 139.970869999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34528949--0.34524155) × cos(1.09463977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458366658616186 × 6371000     		do = 139.996975899084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34528949--0.34524155) × cos(1.09461780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458386184632826 × 6371000     		du = 140.002939647166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09463977)-sin(1.09461780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458366658616186-0.458386184632826)×R²
    abs(-0.34524155--0.34528949)×1.95260166400701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95260166400701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95260166400701e-05×40589641000000     		ar = 19595.9158902153m²