Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58332 / 86809
↖ ↑ ↗
← S 50.333190°
W 19.786377°		 ← 194.92 m → S 50.333190°
W 19.783630°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
S 50.334943°
W 19.786377°		 ← 194.91 m →
37 999 m²		 S 50.334943°
W 19.783630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445041656494141 y=0.662303924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445041656494141 × 217)
    floor (0.445041656494141 × 131072)
    floor (58332.5)     		tx = 58332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662303924560547 × 217)
    floor (0.662303924560547 × 131072)
    floor (86809.5)     		ty = 86809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58332 / 86809 ti = "17/58332/86809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58332/86809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58332 ÷ 217
    58332 ÷ 131072     		x = 0.445037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86809 ÷ 217
    86809 ÷ 131072     		y = 0.662300109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445037841796875 × 2 - 1) × π
    -0.10992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34533742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662300109863281 × 2 - 1) × π
    -0.324600219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.01976166561745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34533742} λ = -0.34533742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01976166561745))-π/2
    2×atan(0.360680892587794)-π/2
    2×0.346158222919596-π/2
    0.692316445839192-1.57079632675     		φ = -0.87847988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34533742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.786377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87847988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.333190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58332 KachelY 86809 -0.34533742 -0.87847988 -19.786377 -50.333190
    Oben rechts KachelX + 1 58333 KachelY 86809 -0.34528949 -0.87847988 -19.783630 -50.333190
    Unten links KachelX 58332 KachelY + 1 86810 -0.34533742 -0.87851048 -19.786377 -50.334943
    Unten rechts KachelX + 1 58333 KachelY + 1 86810 -0.34528949 -0.87851048 -19.783630 -50.334943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87847988--0.87851048) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dl = 194.952599999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87847988--0.87851048) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dr = 194.952599999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34533742--0.34528949) × cos(-0.87847988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63832202317887 × 6371000     		do = 194.919308791726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34533742--0.34528949) × cos(-0.87851048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.638298467935081 × 6371000     		du = 194.912115914666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87847988)-sin(-0.87851048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63832202317887-0.638298467935081)×R²
    abs(-0.34528949--0.34533742)×2.35552437888309e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35552437888309e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35552437888309e-05×40589641000000     		ar = 37999.3249071154m²