Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58331 / 86549
↖ ↑ ↗
← S 49.875168°
W 19.789123°		 ← 196.83 m → S 49.875168°
W 19.786377°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
S 49.876938°
W 19.789123°		 ← 196.83 m →
38 749 m²		 S 49.876938°
W 19.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445034027099609 y=0.660320281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445034027099609 × 217)
    floor (0.445034027099609 × 131072)
    floor (58331.5)     		tx = 58331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660320281982422 × 217)
    floor (0.660320281982422 × 131072)
    floor (86549.5)     		ty = 86549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58331 / 86549 ti = "17/58331/86549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58331/86549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58331 ÷ 217
    58331 ÷ 131072     		x = 0.445030212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86549 ÷ 217
    86549 ÷ 131072     		y = 0.660316467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445030212402344 × 2 - 1) × π
    -0.109939575195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34538536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660316467285156 × 2 - 1) × π
    -0.320632934570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.00729807171624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34538536} λ = -0.34538536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00729807171624))-π/2
    2×atan(0.365204403807216)-π/2
    2×0.350155216995555-π/2
    0.700310433991111-1.57079632675     		φ = -0.87048589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34538536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.789123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87048589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.875168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58331 KachelY 86549 -0.34538536 -0.87048589 -19.789123 -49.875168
    Oben rechts KachelX + 1 58332 KachelY 86549 -0.34533742 -0.87048589 -19.786377 -49.875168
    Unten links KachelX 58331 KachelY + 1 86550 -0.34538536 -0.87051679 -19.789123 -49.876938
    Unten rechts KachelX + 1 58332 KachelY + 1 86550 -0.34533742 -0.87051679 -19.786377 -49.876938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87048589--0.87051679) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87048589--0.87051679) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34538536--0.34533742) × cos(-0.87048589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644455091349147 × 6371000     		do = 196.833173171952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34538536--0.34533742) × cos(-0.87051679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644431463598693 × 6371000     		du = 196.825956648785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87048589)-sin(-0.87051679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644455091349147-0.644431463598693)×R²
    abs(-0.34533742--0.34538536)×2.36277504546134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36277504546134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36277504546134e-05×40589641000000     		ar = 38748.6357867328m²