Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58329 / 28265
↖ ↑ ↗
← N 70.980295°
W 19.794617°		 ← 99.54 m → N 70.980295°
W 19.791870°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 70.979400°
W 19.794617°		 ← 99.54 m →
9 906 m²		 N 70.979400°
W 19.791870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445018768310547 y=0.215648651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445018768310547 × 217)
    floor (0.445018768310547 × 131072)
    floor (58329.5)     		tx = 58329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215648651123047 × 217)
    floor (0.215648651123047 × 131072)
    floor (28265.5)     		ty = 28265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58329 / 28265 ti = "17/58329/28265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58329/28265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58329 ÷ 217
    58329 ÷ 131072     		x = 0.445014953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28265 ÷ 217
    28265 ÷ 131072     		y = 0.215644836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445014953613281 × 2 - 1) × π
    -0.109970092773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34548124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215644836425781 × 2 - 1) × π
    0.568710327148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78665618573911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34548124} λ = -0.34548124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78665618573911))-π/2
    2×atan(5.96945829683547)-π/2
    2×1.40481808956469-π/2
    2.80963617912938-1.57079632675     		φ = 1.23883985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34548124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.794617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23883985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.980295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58329 KachelY 28265 -0.34548124 1.23883985 -19.794617 70.980295
    Oben rechts KachelX + 1 58330 KachelY 28265 -0.34543330 1.23883985 -19.791870 70.980295
    Unten links KachelX 58329 KachelY + 1 28266 -0.34548124 1.23882423 -19.794617 70.979400
    Unten rechts KachelX + 1 58330 KachelY + 1 28266 -0.34543330 1.23882423 -19.791870 70.979400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23883985-1.23882423) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dl = 99.5150199992543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23883985-1.23882423) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dr = 99.5150199992543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34548124--0.34543330) × cos(1.23883985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325893316920163 × 6371000     		do = 99.5362074814454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34548124--0.34543330) × cos(1.23882423) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325908084130727 × 6371000     		du = 99.5407177676596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23883985)-sin(1.23882423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325893316920163-0.325908084130727)×R²
    abs(-0.34543330--0.34548124)×1.47672105638152e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47672105638152e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47672105638152e-05×40589641000000     		ar = 9905.57209896855m²