Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58328 / 86472
↖ ↑ ↗
← S 49.738682°
W 19.797363°		 ← 197.35 m → S 49.738682°
W 19.794617°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 49.740457°
W 19.797363°		 ← 197.34 m →
38 951 m²		 S 49.740457°
W 19.794617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445011138916016 y=0.659732818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445011138916016 × 217)
    floor (0.445011138916016 × 131072)
    floor (58328.5)     		tx = 58328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659732818603516 × 217)
    floor (0.659732818603516 × 131072)
    floor (86472.5)     		ty = 86472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58328 / 86472 ti = "17/58328/86472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58328/86472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58328 ÷ 217
    58328 ÷ 131072     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86472 ÷ 217
    86472 ÷ 131072     		y = 0.65972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.3194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0036069304455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0036069304455))-π/2
    2×atan(0.366554915786278)-π/2
    2×0.351346283303374-π/2
    0.702692566606748-1.57079632675     		φ = -0.86810376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86810376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.738682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58328 KachelY 86472 -0.34552917 -0.86810376 -19.797363 -49.738682
    Oben rechts KachelX + 1 58329 KachelY 86472 -0.34548124 -0.86810376 -19.794617 -49.738682
    Unten links KachelX 58328 KachelY + 1 86473 -0.34552917 -0.86813474 -19.797363 -49.740457
    Unten rechts KachelX + 1 58329 KachelY + 1 86473 -0.34548124 -0.86813474 -19.794617 -49.740457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86810376--0.86813474) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86810376--0.86813474) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(-0.86810376) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646274738165481 × 6371000     		do = 197.347765983822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(-0.86813474) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646251096868097 × 6371000     		du = 197.340546829261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86810376)-sin(-0.86813474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646274738165481-0.646251096868097)×R²
    abs(-0.34548124--0.34552917)×2.36412973833033e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36412973833033e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36412973833033e-05×40589641000000     		ar = 38950.5226452006m²