Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58328 / 38426
↖ ↑ ↗
← N 59.498092°
W 19.797363°		 ← 154.99 m → N 59.498092°
W 19.794617°		 →
↑
155.07 m
↓
↑
155.07 m
↓
N 59.496697°
W 19.797363°		 ← 155 m →
24 035 m²		 N 59.496697°
W 19.794617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445011138916016 y=0.293170928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445011138916016 × 217)
    floor (0.445011138916016 × 131072)
    floor (58328.5)     		tx = 58328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293170928955078 × 217)
    floor (0.293170928955078 × 131072)
    floor (38426.5)     		ty = 38426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58328 / 38426 ti = "17/58328/38426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58328/38426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58328 ÷ 217
    58328 ÷ 131072     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38426 ÷ 217
    38426 ÷ 131072     		y = 0.293167114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293167114257812 × 2 - 1) × π
    0.413665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29956934869972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29956934869972))-π/2
    2×atan(3.66771682044427)-π/2
    2×1.30461696122187-π/2
    2.60923392244374-1.57079632675     		φ = 1.03843760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03843760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.498092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58328 KachelY 38426 -0.34552917 1.03843760 -19.797363 59.498092
    Oben rechts KachelX + 1 58329 KachelY 38426 -0.34548124 1.03843760 -19.794617 59.498092
    Unten links KachelX 58328 KachelY + 1 38427 -0.34552917 1.03841326 -19.797363 59.496697
    Unten rechts KachelX + 1 58329 KachelY + 1 38427 -0.34548124 1.03841326 -19.794617 59.496697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03843760-1.03841326) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dl = 155.07013999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03843760-1.03841326) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dr = 155.07013999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(1.03843760) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.507567059183797 × 6371000     		do = 154.99170755341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(1.03841326) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.507588030675766 × 6371000     		du = 154.99811145077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03843760)-sin(1.03841326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507567059183797-0.507588030675766)×R²
    abs(-0.34548124--0.34552917)×2.09714919690018e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09714919690018e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09714919690018e-05×40589641000000     		ar = 24035.0823169306m²