Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58328 / 36168
↖ ↑ ↗
← N 62.502175°
W 19.797363°		 ← 140.99 m → N 62.502175°
W 19.794617°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
N 62.500906°
W 19.797363°		 ← 141 m →
19 888 m²		 N 62.500906°
W 19.794617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445011138916016 y=0.275943756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445011138916016 × 217)
    floor (0.445011138916016 × 131072)
    floor (58328.5)     		tx = 58328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275943756103516 × 217)
    floor (0.275943756103516 × 131072)
    floor (36168.5)     		ty = 36168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58328 / 36168 ti = "17/58328/36168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58328/36168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58328 ÷ 217
    58328 ÷ 131072     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36168 ÷ 217
    36168 ÷ 131072     		y = 0.27593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27593994140625 × 2 - 1) × π
    0.4481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40781086804181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40781086804181))-π/2
    2×atan(4.0869986245599)-π/2
    2×1.33083253125178-π/2
    2.66166506250355-1.57079632675     		φ = 1.09086874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09086874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.502175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58328 KachelY 36168 -0.34552917 1.09086874 -19.797363 62.502175
    Oben rechts KachelX + 1 58329 KachelY 36168 -0.34548124 1.09086874 -19.794617 62.502175
    Unten links KachelX 58328 KachelY + 1 36169 -0.34552917 1.09084660 -19.797363 62.500906
    Unten rechts KachelX + 1 58329 KachelY + 1 36169 -0.34548124 1.09084660 -19.794617 62.500906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09086874-1.09084660) × R
    2.21399999997818e-05 × 6371000     		dl = 141.05393999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09086874-1.09084660) × R
    2.21399999997818e-05 × 6371000     		dr = 141.05393999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(1.09086874) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.461714944185561 × 6371000     		do = 140.990212637763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34548124) × cos(1.09084660) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.461734582880274 × 6371000     		du = 140.996209549447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09086874)-sin(1.09084660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461714944185561-0.461734582880274)×R²
    abs(-0.34548124--0.34552917)×1.96386947128868e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96386947128868e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96386947128868e-05×40589641000000     		ar = 19887.6479386094m²