Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58326 / 28262
↖ ↑ ↗
← N 70.982980°
W 19.802857°		 ← 99.52 m → N 70.982980°
W 19.800110°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 70.982085°
W 19.802857°		 ← 99.53 m →
9 904 m²		 N 70.982085°
W 19.800110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444995880126953 y=0.215625762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444995880126953 × 217)
    floor (0.444995880126953 × 131072)
    floor (58326.5)     		tx = 58326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215625762939453 × 217)
    floor (0.215625762939453 × 131072)
    floor (28262.5)     		ty = 28262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58326 / 28262 ti = "17/58326/28262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58326/28262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58326 ÷ 217
    58326 ÷ 131072     		x = 0.444992065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28262 ÷ 217
    28262 ÷ 131072     		y = 0.215621948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444992065429688 × 2 - 1) × π
    -0.110015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34562505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215621948242188 × 2 - 1) × π
    0.568756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78679999643797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34562505} λ = -0.34562505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78679999643797))-π/2
    2×atan(5.97031683053664)-π/2
    2×1.40484152144442-π/2
    2.80968304288885-1.57079632675     		φ = 1.23888672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34562505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.802857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23888672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.982980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58326 KachelY 28262 -0.34562505 1.23888672 -19.802857 70.982980
    Oben rechts KachelX + 1 58327 KachelY 28262 -0.34557711 1.23888672 -19.800110 70.982980
    Unten links KachelX 58326 KachelY + 1 28263 -0.34562505 1.23887110 -19.802857 70.982085
    Unten rechts KachelX + 1 58327 KachelY + 1 28263 -0.34557711 1.23887110 -19.800110 70.982085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23888672-1.23887110) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23888672-1.23887110) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34562505--0.34557711) × cos(1.23888672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32584900535719 × 6371000     		do = 99.5226735894186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34562505--0.34557711) × cos(1.23887110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325863772806333 × 6371000     		du = 99.5271839485009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23888672)-sin(1.23887110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32584900535719-0.325863772806333)×R²
    abs(-0.34557711--0.34562505)×1.47674491427496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47674491427496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47674491427496e-05×40589641000000     		ar = 9904.22527720533m²