Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58325 / 28261
↖ ↑ ↗
← N 70.983875°
W 19.805603°		 ← 99.50 m → N 70.983875°
W 19.802857°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 70.982980°
W 19.805603°		 ← 99.50 m →
9 902 m²		 N 70.982980°
W 19.802857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444988250732422 y=0.215618133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444988250732422 × 217)
    floor (0.444988250732422 × 131072)
    floor (58325.5)     		tx = 58325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215618133544922 × 217)
    floor (0.215618133544922 × 131072)
    floor (28261.5)     		ty = 28261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58325 / 28261 ti = "17/58325/28261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58325/28261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58325 ÷ 217
    58325 ÷ 131072     		x = 0.444984436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28261 ÷ 217
    28261 ÷ 131072     		y = 0.215614318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444984436035156 × 2 - 1) × π
    -0.110031127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34567298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215614318847656 × 2 - 1) × π
    0.568771362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78684793333759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34567298} λ = -0.34567298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78684793333759))-π/2
    2×atan(5.97060303587509)-π/2
    2×1.40484933136307-π/2
    2.80969866272613-1.57079632675     		φ = 1.23890234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34567298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.805603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23890234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.983875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58325 KachelY 28261 -0.34567298 1.23890234 -19.805603 70.983875
    Oben rechts KachelX + 1 58326 KachelY 28261 -0.34562505 1.23890234 -19.802857 70.983875
    Unten links KachelX 58325 KachelY + 1 28262 -0.34567298 1.23888672 -19.805603 70.982980
    Unten rechts KachelX + 1 58326 KachelY + 1 28262 -0.34562505 1.23888672 -19.802857 70.982980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23890234-1.23888672) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23890234-1.23888672) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34567298--0.34562505) × cos(1.23890234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325834237828546 × 6371000     		do = 99.4974043068884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34567298--0.34562505) × cos(1.23888672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32584900535719 × 6371000     		du = 99.5019137494134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23890234)-sin(1.23888672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325834237828546-0.32584900535719)×R²
    abs(-0.34562505--0.34567298)×1.47675286448212e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47675286448212e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47675286448212e-05×40589641000000     		ar = 9901.71055827647m²