Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58324 / 35884
↖ ↑ ↗
← N 62.860158°
W 19.808350°		 ← 139.32 m → N 62.860158°
W 19.805603°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
N 62.858905°
W 19.808350°		 ← 139.33 m →
19 413 m²		 N 62.858905°
W 19.805603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444980621337891 y=0.273777008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444980621337891 × 217)
    floor (0.444980621337891 × 131072)
    floor (58324.5)     		tx = 58324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273777008056641 × 217)
    floor (0.273777008056641 × 131072)
    floor (35884.5)     		ty = 35884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58324 / 35884 ti = "17/58324/35884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58324/35884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58324 ÷ 217
    58324 ÷ 131072     		x = 0.444976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35884 ÷ 217
    35884 ÷ 131072     		y = 0.273773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.11004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34572092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273773193359375 × 2 - 1) × π
    0.45245361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42142494753391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34572092} λ = -0.34572092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42142494753391))-π/2
    2×atan(4.14301982197671)-π/2
    2×1.33395652200651-π/2
    2.66791304401301-1.57079632675     		φ = 1.09711672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34572092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.808350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09711672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.860158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58324 KachelY 35884 -0.34572092 1.09711672 -19.808350 62.860158
    Oben rechts KachelX + 1 58325 KachelY 35884 -0.34567298 1.09711672 -19.805603 62.860158
    Unten links KachelX 58324 KachelY + 1 35885 -0.34572092 1.09709485 -19.808350 62.858905
    Unten rechts KachelX + 1 58325 KachelY + 1 35885 -0.34567298 1.09709485 -19.805603 62.858905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09711672-1.09709485) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dl = 139.333770000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09711672-1.09709485) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dr = 139.333770000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34572092--0.34567298) × cos(1.09711672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456163832782567 × 6371000     		do = 139.32417618876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34572092--0.34567298) × cos(1.09709485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4561832946949 × 6371000     		du = 139.330120357737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09711672)-sin(1.09709485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456163832782567-0.4561832946949)×R²
    abs(-0.34567298--0.34572092)×1.94619123338735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94619123338735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94619123338735e-05×40589641000000     		ar = 19412.9768332011m²