Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58324 / 35881
↖ ↑ ↗
← N 62.863916°
W 19.808350°		 ← 139.31 m → N 62.863916°
W 19.805603°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 62.862663°
W 19.808350°		 ← 139.31 m →
19 402 m²		 N 62.862663°
W 19.805603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444980621337891 y=0.273754119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444980621337891 × 217)
    floor (0.444980621337891 × 131072)
    floor (58324.5)     		tx = 58324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273754119873047 × 217)
    floor (0.273754119873047 × 131072)
    floor (35881.5)     		ty = 35881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58324 / 35881 ti = "17/58324/35881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58324/35881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58324 ÷ 217
    58324 ÷ 131072     		x = 0.444976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35881 ÷ 217
    35881 ÷ 131072     		y = 0.273750305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.11004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34572092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273750305175781 × 2 - 1) × π
    0.452499389648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.42156875823277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34572092} λ = -0.34572092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42156875823277))-π/2
    2×atan(4.14361567539672)-π/2
    2×1.33398932052769-π/2
    2.66797864105538-1.57079632675     		φ = 1.09718231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34572092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.808350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09718231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.863916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58324 KachelY 35881 -0.34572092 1.09718231 -19.808350 62.863916
    Oben rechts KachelX + 1 58325 KachelY 35881 -0.34567298 1.09718231 -19.805603 62.863916
    Unten links KachelX 58324 KachelY + 1 35882 -0.34572092 1.09716045 -19.808350 62.862663
    Unten rechts KachelX + 1 58325 KachelY + 1 35882 -0.34567298 1.09716045 -19.805603 62.862663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09718231-1.09716045) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dl = 139.270059999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09718231-1.09716045) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dr = 139.270059999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34572092--0.34567298) × cos(1.09718231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456105463535027 × 6371000     		do = 139.306348718137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34572092--0.34567298) × cos(1.09716045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456124917202521 × 6371000     		du = 139.312290368927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09718231)-sin(1.09716045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456105463535027-0.456124917202521)×R²
    abs(-0.34567298--0.34572092)×1.94536674939516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94536674939516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94536674939516e-05×40589641000000     		ar = 19401.6172919362m²