Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58323 / 35882
↖ ↑ ↗
← N 62.862663°
W 19.811096°		 ← 139.31 m → N 62.862663°
W 19.808350°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
N 62.861410°
W 19.811096°		 ← 139.32 m →
19 411 m²		 N 62.861410°
W 19.808350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444972991943359 y=0.273761749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444972991943359 × 217)
    floor (0.444972991943359 × 131072)
    floor (58323.5)     		tx = 58323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273761749267578 × 217)
    floor (0.273761749267578 × 131072)
    floor (35882.5)     		ty = 35882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58323 / 35882 ti = "17/58323/35882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58323/35882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58323 ÷ 217
    58323 ÷ 131072     		x = 0.444969177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35882 ÷ 217
    35882 ÷ 131072     		y = 0.273757934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444969177246094 × 2 - 1) × π
    -0.110061645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.34576886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273757934570312 × 2 - 1) × π
    0.452484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42152082133315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34576886} λ = -0.34576886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42152082133315))-π/2
    2×atan(4.14341704806885)-π/2
    2×1.33397838815368-π/2
    2.66795677630736-1.57079632675     		φ = 1.09716045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34576886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.811096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09716045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.862663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58323 KachelY 35882 -0.34576886 1.09716045 -19.811096 62.862663
    Oben rechts KachelX + 1 58324 KachelY 35882 -0.34572092 1.09716045 -19.808350 62.862663
    Unten links KachelX 58323 KachelY + 1 35883 -0.34576886 1.09713858 -19.811096 62.861410
    Unten rechts KachelX + 1 58324 KachelY + 1 35883 -0.34572092 1.09713858 -19.808350 62.861410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09716045-1.09713858) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dl = 139.333770000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09716045-1.09713858) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dr = 139.333770000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34576886--0.34572092) × cos(1.09716045) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.456124917202521 × 6371000     		do = 139.312290369089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34576886--0.34572092) × cos(1.09713858) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.456144379551109 × 6371000     		du = 139.318234671308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09716045)-sin(1.09713858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456124917202521-0.456144379551109)×R²
    abs(-0.34572092--0.34576886)×1.9462348588295e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9462348588295e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9462348588295e-05×40589641000000     		ar = 19411.3207463806m²