Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58322 / 86609
↖ ↑ ↗
← S 49.981254°
W 19.813843°		 ← 196.36 m → S 49.981254°
W 19.811096°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
S 49.983020°
W 19.813843°		 ← 196.35 m →
38 555 m²		 S 49.983020°
W 19.811096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444965362548828 y=0.660778045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444965362548828 × 217)
    floor (0.444965362548828 × 131072)
    floor (58322.5)     		tx = 58322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660778045654297 × 217)
    floor (0.660778045654297 × 131072)
    floor (86609.5)     		ty = 86609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58322 / 86609 ti = "17/58322/86609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58322/86609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58322 ÷ 217
    58322 ÷ 131072     		x = 0.444961547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86609 ÷ 217
    86609 ÷ 131072     		y = 0.660774230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444961547851562 × 2 - 1) × π
    -0.110076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34581679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660774230957031 × 2 - 1) × π
    -0.321548461914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.01017428569344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34581679} λ = -0.34581679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01017428569344))-π/2
    2×atan(0.36415550694545)-π/2
    2×0.349229440549174-π/2
    0.698458881098347-1.57079632675     		φ = -0.87233745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34581679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.813843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87233745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.981254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58322 KachelY 86609 -0.34581679 -0.87233745 -19.813843 -49.981254
    Oben rechts KachelX + 1 58323 KachelY 86609 -0.34576886 -0.87233745 -19.811096 -49.981254
    Unten links KachelX 58322 KachelY + 1 86610 -0.34581679 -0.87236827 -19.813843 -49.983020
    Unten rechts KachelX + 1 58323 KachelY + 1 86610 -0.34576886 -0.87236827 -19.811096 -49.983020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87233745--0.87236827) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dl = 196.354219999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87233745--0.87236827) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dr = 196.354219999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34581679--0.34576886) × cos(-0.87233745) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643038206633297 × 6371000     		do = 196.359452144996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34581679--0.34576886) × cos(-0.87236827) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643014603321015 × 6371000     		du = 196.352244589643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87233745)-sin(-0.87236827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643038206633297-0.643014603321015)×R²
    abs(-0.34576886--0.34581679)×2.36033122816837e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36033122816837e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36033122816837e-05×40589641000000     		ar = 38555.2994517706m²