Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58322 / 60466
↖ ↑ ↗
← N 13.790071°
W 19.813843°		 ← 296.56 m → N 13.790071°
W 19.811096°		 →
↑
296.57 m
↓
↑
296.57 m
↓
N 13.787404°
W 19.813843°		 ← 296.56 m →
87 951 m²		 N 13.787404°
W 19.811096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444965362548828 y=0.461322784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444965362548828 × 217)
    floor (0.444965362548828 × 131072)
    floor (58322.5)     		tx = 58322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461322784423828 × 217)
    floor (0.461322784423828 × 131072)
    floor (60466.5)     		ty = 60466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58322 / 60466 ti = "17/58322/60466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58322/60466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58322 ÷ 217
    58322 ÷ 131072     		x = 0.444961547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60466 ÷ 217
    60466 ÷ 131072     		y = 0.461318969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444961547851562 × 2 - 1) × π
    -0.110076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34581679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461318969726562 × 2 - 1) × π
    0.077362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.243040081073685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34581679} λ = -0.34581679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243040081073685))-π/2
    2×atan(1.27511973126214)-π/2
    2×0.905739238726213-π/2
    1.81147847745243-1.57079632675     		φ = 0.24068215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34581679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.813843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24068215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.790071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58322 KachelY 60466 -0.34581679 0.24068215 -19.813843 13.790071
    Oben rechts KachelX + 1 58323 KachelY 60466 -0.34576886 0.24068215 -19.811096 13.790071
    Unten links KachelX 58322 KachelY + 1 60467 -0.34581679 0.24063560 -19.813843 13.787404
    Unten rechts KachelX + 1 58323 KachelY + 1 60467 -0.34576886 0.24063560 -19.811096 13.787404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24068215-0.24063560) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dl = 296.57005000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24068215-0.24063560) × R
    4.65500000000063e-05 × 6371000     		dr = 296.57005000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34581679--0.34576886) × cos(0.24068215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.971175600022316 × 6371000     		do = 296.56015270912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34581679--0.34576886) × cos(0.24063560) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97118669486872 × 6371000     		du = 296.563540653941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24068215)-sin(0.24063560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971175600022316-0.97118669486872)×R²
    abs(-0.34576886--0.34581679)×1.10948464040472e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.10948464040472e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.10948464040472e-05×40589641000000     		ar = 87951.361714331m²