Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58322 / 28574
↖ ↑ ↗
← N 70.701767°
W 19.813843°		 ← 100.92 m → N 70.701767°
W 19.811096°		 →
↑
100.98 m
↓
↑
100.98 m
↓
N 70.700859°
W 19.813843°		 ← 100.92 m →
10 191 m²		 N 70.700859°
W 19.811096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444965362548828 y=0.218006134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444965362548828 × 217)
    floor (0.444965362548828 × 131072)
    floor (58322.5)     		tx = 58322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218006134033203 × 217)
    floor (0.218006134033203 × 131072)
    floor (28574.5)     		ty = 28574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58322 / 28574 ti = "17/58322/28574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58322/28574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58322 ÷ 217
    58322 ÷ 131072     		x = 0.444961547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28574 ÷ 217
    28574 ÷ 131072     		y = 0.218002319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444961547851562 × 2 - 1) × π
    -0.110076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34581679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218002319335938 × 2 - 1) × π
    0.563995361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77184368375652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34581679} λ = -0.34581679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77184368375652))-π/2
    2×atan(5.8816873425105)-π/2
    2×1.40238747208968-π/2
    2.80477494417936-1.57079632675     		φ = 1.23397862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34581679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.813843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23397862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.701767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58322 KachelY 28574 -0.34581679 1.23397862 -19.813843 70.701767
    Oben rechts KachelX + 1 58323 KachelY 28574 -0.34576886 1.23397862 -19.811096 70.701767
    Unten links KachelX 58322 KachelY + 1 28575 -0.34581679 1.23396277 -19.813843 70.700859
    Unten rechts KachelX + 1 58323 KachelY + 1 28575 -0.34576886 1.23396277 -19.811096 70.700859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23397862-1.23396277) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dl = 100.980350000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23397862-1.23396277) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dr = 100.980350000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34581679--0.34576886) × cos(1.23397862) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.330485286829516 × 6371000     		do = 100.917658071338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34581679--0.34576886) × cos(1.23396277) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.330500246194632 × 6371000     		du = 100.922226093438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23397862)-sin(1.23396277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330485286829516-0.330500246194632)×R²
    abs(-0.34576886--0.34581679)×1.49593651161961e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.49593651161961e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.49593651161961e-05×40589641000000     		ar = 10190.9310737695m²