Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58321 / 86671
↖ ↑ ↗
← S 50.090631°
W 19.816589°		 ← 195.95 m → S 50.090631°
W 19.813843°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
S 50.092393°
W 19.816589°		 ← 195.95 m →
38 388 m²		 S 50.092393°
W 19.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444957733154297 y=0.661251068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444957733154297 × 217)
    floor (0.444957733154297 × 131072)
    floor (58321.5)     		tx = 58321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661251068115234 × 217)
    floor (0.661251068115234 × 131072)
    floor (86671.5)     		ty = 86671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58321 / 86671 ti = "17/58321/86671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58321/86671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58321 ÷ 217
    58321 ÷ 131072     		x = 0.444953918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86671 ÷ 217
    86671 ÷ 131072     		y = 0.661247253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444953918457031 × 2 - 1) × π
    -0.110092163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34586473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661247253417969 × 2 - 1) × π
    -0.322494506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.01314637346989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34586473} λ = -0.34586473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01314637346989))-π/2
    2×atan(0.363074811570798)-π/2
    2×0.348274944816576-π/2
    0.696549889633152-1.57079632675     		φ = -0.87424644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34586473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.816589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87424644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.090631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58321 KachelY 86671 -0.34586473 -0.87424644 -19.816589 -50.090631
    Oben rechts KachelX + 1 58322 KachelY 86671 -0.34581679 -0.87424644 -19.813843 -50.090631
    Unten links KachelX 58321 KachelY + 1 86672 -0.34586473 -0.87427719 -19.816589 -50.092393
    Unten rechts KachelX + 1 58322 KachelY + 1 86672 -0.34581679 -0.87427719 -19.813843 -50.092393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87424644--0.87427719) × R
    3.07500000000793e-05 × 6371000     		dl = 195.908250000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87424644--0.87427719) × R
    3.07500000000793e-05 × 6371000     		dr = 195.908250000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(-0.87424644) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641575066194249 × 6371000     		do = 195.953539358026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(-0.87427719) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641551478788094 × 6371000     		du = 195.946335157046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87424644)-sin(-0.87427719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641575066194249-0.641551478788094)×R²
    abs(-0.34581679--0.34586473)×2.35874061550456e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35874061550456e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35874061550456e-05×40589641000000     		ar = 38388.2092987714m²