Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58321 / 86447
↖ ↑ ↗
← S 49.694285°
W 19.816589°		 ← 197.57 m → S 49.694285°
W 19.813843°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.696062°
W 19.816589°		 ← 197.56 m →
39 019 m²		 S 49.696062°
W 19.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444957733154297 y=0.659542083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444957733154297 × 217)
    floor (0.444957733154297 × 131072)
    floor (58321.5)     		tx = 58321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659542083740234 × 217)
    floor (0.659542083740234 × 131072)
    floor (86447.5)     		ty = 86447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58321 / 86447 ti = "17/58321/86447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58321/86447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58321 ÷ 217
    58321 ÷ 131072     		x = 0.444953918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86447 ÷ 217
    86447 ÷ 131072     		y = 0.659538269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444953918457031 × 2 - 1) × π
    -0.110092163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34586473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659538269042969 × 2 - 1) × π
    -0.319076538085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.00240850795499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34586473} λ = -0.34586473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00240850795499))-π/2
    2×atan(0.366994466772647)-π/2
    2×0.351733715485795-π/2
    0.70346743097159-1.57079632675     		φ = -0.86732890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34586473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.816589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86732890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.694285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58321 KachelY 86447 -0.34586473 -0.86732890 -19.816589 -49.694285
    Oben rechts KachelX + 1 58322 KachelY 86447 -0.34581679 -0.86732890 -19.813843 -49.694285
    Unten links KachelX 58321 KachelY + 1 86448 -0.34586473 -0.86735990 -19.816589 -49.696062
    Unten rechts KachelX + 1 58322 KachelY + 1 86448 -0.34581679 -0.86735990 -19.813843 -49.696062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86732890--0.86735990) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86732890--0.86735990) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(-0.86732890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646865843491102 × 6371000     		do = 197.569478929093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(-0.86735990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646842202461983 × 6371000     		du = 197.56225835028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86732890)-sin(-0.86735990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646865843491102-0.646842202461983)×R²
    abs(-0.34581679--0.34586473)×2.36410291183375e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36410291183375e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36410291183375e-05×40589641000000     		ar = 39019.4566252104m²