Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58321 / 28575
↖ ↑ ↗
← N 70.700859°
W 19.816589°		 ← 100.94 m → N 70.700859°
W 19.813843°		 →
↑
100.92 m
↓
↑
100.92 m
↓
N 70.699951°
W 19.816589°		 ← 100.95 m →
10 187 m²		 N 70.699951°
W 19.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444957733154297 y=0.218013763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444957733154297 × 217)
    floor (0.444957733154297 × 131072)
    floor (58321.5)     		tx = 58321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218013763427734 × 217)
    floor (0.218013763427734 × 131072)
    floor (28575.5)     		ty = 28575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58321 / 28575 ti = "17/58321/28575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58321/28575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58321 ÷ 217
    58321 ÷ 131072     		x = 0.444953918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28575 ÷ 217
    28575 ÷ 131072     		y = 0.218009948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444953918457031 × 2 - 1) × π
    -0.110092163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34586473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218009948730469 × 2 - 1) × π
    0.563980102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.7717957468569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34586473} λ = -0.34586473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7717957468569))-π/2
    2×atan(5.88140539941256)-π/2
    2×1.40237955069041-π/2
    2.80475910138083-1.57079632675     		φ = 1.23396277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34586473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.816589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23396277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.700859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58321 KachelY 28575 -0.34586473 1.23396277 -19.816589 70.700859
    Oben rechts KachelX + 1 58322 KachelY 28575 -0.34581679 1.23396277 -19.813843 70.700859
    Unten links KachelX 58321 KachelY + 1 28576 -0.34586473 1.23394693 -19.816589 70.699951
    Unten rechts KachelX + 1 58322 KachelY + 1 28576 -0.34581679 1.23394693 -19.813843 70.699951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23396277-1.23394693) × R
    1.58399999998782e-05 × 6371000     		dl = 100.916639999224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23396277-1.23394693) × R
    1.58399999998782e-05 × 6371000     		dr = 100.916639999224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(1.23396277) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.330500246194632 × 6371000     		do = 100.943282264228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(1.23394693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.330515196038713 × 6371000     		du = 100.94784833142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23396277)-sin(1.23394693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330500246194632-0.330515196038713)×R²
    abs(-0.34581679--0.34586473)×1.49498440802365e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.49498440802365e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.49498440802365e-05×40589641000000     		ar = 10187.0872728954m²