Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58321 / 28284
↖ ↑ ↗
← N 70.963281°
W 19.816589°		 ← 99.62 m → N 70.963281°
W 19.813843°		 →
↑
99.64 m
↓
↑
99.64 m
↓
N 70.962385°
W 19.816589°		 ← 99.63 m →
9 927 m²		 N 70.962385°
W 19.813843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444957733154297 y=0.215793609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444957733154297 × 217)
    floor (0.444957733154297 × 131072)
    floor (58321.5)     		tx = 58321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215793609619141 × 217)
    floor (0.215793609619141 × 131072)
    floor (28284.5)     		ty = 28284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58321 / 28284 ti = "17/58321/28284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58321/28284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58321 ÷ 217
    58321 ÷ 131072     		x = 0.444953918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28284 ÷ 217
    28284 ÷ 131072     		y = 0.215789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444953918457031 × 2 - 1) × π
    -0.110092163085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.34586473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215789794921875 × 2 - 1) × π
    0.56842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78574538464633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34586473} λ = -0.34586473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78574538464633))-π/2
    2×atan(5.96402378295168)-π/2
    2×1.40466961365784-π/2
    2.80933922731568-1.57079632675     		φ = 1.23854290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34586473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.816589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23854290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.963281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58321 KachelY 28284 -0.34586473 1.23854290 -19.816589 70.963281
    Oben rechts KachelX + 1 58322 KachelY 28284 -0.34581679 1.23854290 -19.813843 70.963281
    Unten links KachelX 58321 KachelY + 1 28285 -0.34586473 1.23852726 -19.816589 70.962385
    Unten rechts KachelX + 1 58322 KachelY + 1 28285 -0.34581679 1.23852726 -19.813843 70.962385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23854290-1.23852726) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dl = 99.6424399998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23854290-1.23852726) × R
    1.56399999999834e-05 × 6371000     		dr = 99.6424399998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(1.23854290) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326174041022726 × 6371000     		do = 99.6219478482066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34586473--0.34581679) × cos(1.23852726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326188825627088 × 6371000     		du = 99.6264634469342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23854290)-sin(1.23852726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326174041022726-0.326188825627088)×R²
    abs(-0.34581679--0.34586473)×1.47846043611066e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47846043611066e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47846043611066e-05×40589641000000     		ar = 9926.79893405885m²