Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58320 / 86543
↖ ↑ ↗
← S 49.864546°
W 19.819336°		 ← 196.88 m → S 49.864546°
W 19.816589°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
S 49.866317°
W 19.819336°		 ← 196.87 m →
38 757 m²		 S 49.866317°
W 19.816589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444950103759766 y=0.660274505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444950103759766 × 217)
    floor (0.444950103759766 × 131072)
    floor (58320.5)     		tx = 58320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660274505615234 × 217)
    floor (0.660274505615234 × 131072)
    floor (86543.5)     		ty = 86543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58320 / 86543 ti = "17/58320/86543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58320/86543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58320 ÷ 217
    58320 ÷ 131072     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86543 ÷ 217
    86543 ÷ 131072     		y = 0.660270690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660270690917969 × 2 - 1) × π
    -0.320541381835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.00701045031852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00701045031852))-π/2
    2×atan(0.365309459515704)-π/2
    2×0.350247906723921-π/2
    0.700495813447842-1.57079632675     		φ = -0.87030051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87030051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.864546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58320 KachelY 86543 -0.34591267 -0.87030051 -19.819336 -49.864546
    Oben rechts KachelX + 1 58321 KachelY 86543 -0.34586473 -0.87030051 -19.816589 -49.864546
    Unten links KachelX 58320 KachelY + 1 86544 -0.34591267 -0.87033141 -19.819336 -49.866317
    Unten rechts KachelX + 1 58321 KachelY + 1 86544 -0.34586473 -0.87033141 -19.816589 -49.866317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87030051--0.87033141) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87030051--0.87033141) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34586473) × cos(-0.87030051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644596829638656 × 6371000     		do = 196.876463693911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34586473) × cos(-0.87033141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644573205580134 × 6371000     		du = 196.869248298356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87030051)-sin(-0.87033141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644596829638656-0.644573205580134)×R²
    abs(-0.34586473--0.34591267)×2.36240585216319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36240585216319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36240585216319e-05×40589641000000     		ar = 38757.1582385482m²