Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58320 / 35984
↖ ↑ ↗
← N 62.734601°
W 19.819336°		 ← 139.92 m → N 62.734601°
W 19.816589°		 →
↑
139.91 m
↓
↑
139.91 m
↓
N 62.733343°
W 19.819336°		 ← 139.93 m →
19 576 m²		 N 62.733343°
W 19.816589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444950103759766 y=0.274539947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444950103759766 × 217)
    floor (0.444950103759766 × 131072)
    floor (58320.5)     		tx = 58320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274539947509766 × 217)
    floor (0.274539947509766 × 131072)
    floor (35984.5)     		ty = 35984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58320 / 35984 ti = "17/58320/35984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58320/35984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58320 ÷ 217
    58320 ÷ 131072     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35984 ÷ 217
    35984 ÷ 131072     		y = 0.2745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2745361328125 × 2 - 1) × π
    0.450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4166312575719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4166312575719))-π/2
    2×atan(4.12320699565769)-π/2
    2×1.33286083350281-π/2
    2.66572166700563-1.57079632675     		φ = 1.09492534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09492534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.734601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58320 KachelY 35984 -0.34591267 1.09492534 -19.819336 62.734601
    Oben rechts KachelX + 1 58321 KachelY 35984 -0.34586473 1.09492534 -19.816589 62.734601
    Unten links KachelX 58320 KachelY + 1 35985 -0.34591267 1.09490338 -19.819336 62.733343
    Unten rechts KachelX + 1 58321 KachelY + 1 35985 -0.34586473 1.09490338 -19.816589 62.733343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09492534-1.09490338) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dl = 139.907159999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09492534-1.09490338) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dr = 139.907159999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34586473) × cos(1.09492534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458112835825777 × 6371000     		do = 139.919451885495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34586473) × cos(1.09490338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458132355828622 × 6371000     		du = 139.925413796808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09492534)-sin(1.09490338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458112835825777-0.458132355828622)×R²
    abs(-0.34586473--0.34591267)×1.95200028453302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95200028453302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95200028453302e-05×40589641000000     		ar = 19576.1501998359m²