Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58319 / 86672
↖ ↑ ↗
← S 50.092393°
W 19.822082°		 ← 195.91 m → S 50.092393°
W 19.819336°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
S 50.094156°
W 19.822082°		 ← 195.90 m →
38 391 m²		 S 50.094156°
W 19.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444942474365234 y=0.661258697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444942474365234 × 217)
    floor (0.444942474365234 × 131072)
    floor (58319.5)     		tx = 58319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661258697509766 × 217)
    floor (0.661258697509766 × 131072)
    floor (86672.5)     		ty = 86672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58319 / 86672 ti = "17/58319/86672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58319/86672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58319 ÷ 217
    58319 ÷ 131072     		x = 0.444938659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86672 ÷ 217
    86672 ÷ 131072     		y = 0.6612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444938659667969 × 2 - 1) × π
    -0.110122680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.34596060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.322509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01319431036951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34596060} λ = -0.34596060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01319431036951))-π/2
    2×atan(0.363057407307158)-π/2
    2×0.34825956753947-π/2
    0.696519135078939-1.57079632675     		φ = -0.87427719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34596060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.822082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87427719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.092393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58319 KachelY 86672 -0.34596060 -0.87427719 -19.822082 -50.092393
    Oben rechts KachelX + 1 58320 KachelY 86672 -0.34591267 -0.87427719 -19.819336 -50.092393
    Unten links KachelX 58319 KachelY + 1 86673 -0.34596060 -0.87430795 -19.822082 -50.094156
    Unten rechts KachelX + 1 58320 KachelY + 1 86673 -0.34591267 -0.87430795 -19.819336 -50.094156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87427719--0.87430795) × R
    3.07599999999075e-05 × 6371000     		dl = 195.971959999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87427719--0.87430795) × R
    3.07599999999075e-05 × 6371000     		dr = 195.971959999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34596060--0.34591267) × cos(-0.87427719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641551478788094 × 6371000     		do = 195.905461912354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34596060--0.34591267) × cos(-0.87430795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641527883104315 × 6371000     		du = 195.898256686456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87427719)-sin(-0.87430795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641551478788094-0.641527883104315)×R²
    abs(-0.34591267--0.34596060)×2.35956837789653e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35956837789653e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35956837789653e-05×40589641000000     		ar = 38391.2713374423m²