Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58318 / 86606
↖ ↑ ↗
← S 49.975955°
W 19.824829°		 ← 196.42 m → S 49.975955°
W 19.822082°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
S 49.977721°
W 19.824829°		 ← 196.41 m →
38 580 m²		 S 49.977721°
W 19.822082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444934844970703 y=0.660755157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444934844970703 × 217)
    floor (0.444934844970703 × 131072)
    floor (58318.5)     		tx = 58318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660755157470703 × 217)
    floor (0.660755157470703 × 131072)
    floor (86606.5)     		ty = 86606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58318 / 86606 ti = "17/58318/86606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58318/86606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58318 ÷ 217
    58318 ÷ 131072     		x = 0.444931030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86606 ÷ 217
    86606 ÷ 131072     		y = 0.660751342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444931030273438 × 2 - 1) × π
    -0.110137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34600854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660751342773438 × 2 - 1) × π
    -0.321502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01003047499458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34600854} λ = -0.34600854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01003047499458))-π/2
    2×atan(0.364207880169222)-π/2
    2×0.349275680982591-π/2
    0.698551361965182-1.57079632675     		φ = -0.87224496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34600854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.824829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87224496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.975955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58318 KachelY 86606 -0.34600854 -0.87224496 -19.824829 -49.975955
    Oben rechts KachelX + 1 58319 KachelY 86606 -0.34596060 -0.87224496 -19.822082 -49.975955
    Unten links KachelX 58318 KachelY + 1 86607 -0.34600854 -0.87227579 -19.824829 -49.977721
    Unten rechts KachelX + 1 58319 KachelY + 1 86607 -0.34596060 -0.87227579 -19.822082 -49.977721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87224496--0.87227579) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87224496--0.87227579) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34600854--0.34596060) × cos(-0.87224496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643109035878466 × 6371000     		do = 196.422053183738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34600854--0.34596060) × cos(-0.87227579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643085426741314 × 6371000     		du = 196.414842345553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87224496)-sin(-0.87227579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643109035878466-0.643085426741314)×R²
    abs(-0.34596060--0.34600854)×2.36091371514924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36091371514924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36091371514924e-05×40589641000000     		ar = 38580.1049268655m²