Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58318 / 28359
↖ ↑ ↗
← N 70.895977°
W 19.824829°		 ← 99.96 m → N 70.895977°
W 19.822082°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
N 70.895078°
W 19.824829°		 ← 99.97 m →
9 992 m²		 N 70.895078°
W 19.822082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444934844970703 y=0.216365814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444934844970703 × 217)
    floor (0.444934844970703 × 131072)
    floor (58318.5)     		tx = 58318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216365814208984 × 217)
    floor (0.216365814208984 × 131072)
    floor (28359.5)     		ty = 28359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58318 / 28359 ti = "17/58318/28359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58318/28359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58318 ÷ 217
    58318 ÷ 131072     		x = 0.444931030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28359 ÷ 217
    28359 ÷ 131072     		y = 0.216361999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444931030273438 × 2 - 1) × π
    -0.110137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34600854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216361999511719 × 2 - 1) × π
    0.567276000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.78215011717483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34600854} λ = -0.34600854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78215011717483))-π/2
    2×atan(5.94262002142467)-π/2
    2×1.40408227482192-π/2
    2.80816454964383-1.57079632675     		φ = 1.23736822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34600854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.824829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23736822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.895977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58318 KachelY 28359 -0.34600854 1.23736822 -19.824829 70.895977
    Oben rechts KachelX + 1 58319 KachelY 28359 -0.34596060 1.23736822 -19.822082 70.895977
    Unten links KachelX 58318 KachelY + 1 28360 -0.34600854 1.23735253 -19.824829 70.895078
    Unten rechts KachelX + 1 58319 KachelY + 1 28360 -0.34596060 1.23735253 -19.822082 70.895078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23736822-1.23735253) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dl = 99.9609900007878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23736822-1.23735253) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dr = 99.9609900007878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34600854--0.34596060) × cos(1.23736822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327284252167416 × 6371000     		do = 99.961034908514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34600854--0.34596060) × cos(1.23735253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327299078015015 × 6371000     		du = 99.965563103988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23736822)-sin(1.23735253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327284252167416-0.327299078015015)×R²
    abs(-0.34596060--0.34600854)×1.4825847598765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4825847598765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4825847598765e-05×40589641000000     		ar = 9992.43033269946m²