Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58317 / 28308
↖ ↑ ↗
← N 70.941769°
W 19.827576°		 ← 99.73 m → N 70.941769°
W 19.824829°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
N 70.940871°
W 19.827576°		 ← 99.73 m →
9 950 m²		 N 70.940871°
W 19.824829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444927215576172 y=0.215976715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444927215576172 × 217)
    floor (0.444927215576172 × 131072)
    floor (58317.5)     		tx = 58317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215976715087891 × 217)
    floor (0.215976715087891 × 131072)
    floor (28308.5)     		ty = 28308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58317 / 28308 ti = "17/58317/28308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58317/28308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58317 ÷ 217
    58317 ÷ 131072     		x = 0.444923400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28308 ÷ 217
    28308 ÷ 131072     		y = 0.215972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444923400878906 × 2 - 1) × π
    -0.110153198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34605648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215972900390625 × 2 - 1) × π
    0.56805419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78459489905545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34605648} λ = -0.34605648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78459489905545))-π/2
    2×atan(5.9571662050544)-π/2
    2×1.40448188232884-π/2
    2.80896376465769-1.57079632675     		φ = 1.23816744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34605648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.827576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23816744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.941769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58317 KachelY 28308 -0.34605648 1.23816744 -19.827576 70.941769
    Oben rechts KachelX + 1 58318 KachelY 28308 -0.34600854 1.23816744 -19.824829 70.941769
    Unten links KachelX 58317 KachelY + 1 28309 -0.34605648 1.23815178 -19.827576 70.940871
    Unten rechts KachelX + 1 58318 KachelY + 1 28309 -0.34600854 1.23815178 -19.824829 70.940871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23816744-1.23815178) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23816744-1.23815178) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34605648--0.34600854) × cos(1.23816744) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326528944017055 × 6371000     		do = 99.7303443578775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34605648--0.34600854) × cos(1.23815178) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326543745608615 × 6371000     		du = 99.734865144933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23816744)-sin(1.23815178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326528944017055-0.326543745608615)×R²
    abs(-0.34600854--0.34605648)×1.48015915601984e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48015915601984e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48015915601984e-05×40589641000000     		ar = 9950.30801371091m²