Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58317 / 28305
↖ ↑ ↗
← N 70.944459°
W 19.827576°		 ← 99.72 m → N 70.944459°
W 19.824829°		 →
↑
99.71 m
↓
↑
99.71 m
↓
N 70.943562°
W 19.827576°		 ← 99.72 m →
9 943 m²		 N 70.943562°
W 19.824829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444927215576172 y=0.215953826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444927215576172 × 217)
    floor (0.444927215576172 × 131072)
    floor (58317.5)     		tx = 58317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215953826904297 × 217)
    floor (0.215953826904297 × 131072)
    floor (28305.5)     		ty = 28305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58317 / 28305 ti = "17/58317/28305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58317/28305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58317 ÷ 217
    58317 ÷ 131072     		x = 0.444923400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28305 ÷ 217
    28305 ÷ 131072     		y = 0.215950012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444923400878906 × 2 - 1) × π
    -0.110153198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.34605648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215950012207031 × 2 - 1) × π
    0.568099975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.78473870975431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34605648} λ = -0.34605648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78473870975431))-π/2
    2×atan(5.95802297089415)-π/2
    2×1.40450535991113-π/2
    2.80901071982227-1.57079632675     		φ = 1.23821439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34605648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.827576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23821439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.944459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58317 KachelY 28305 -0.34605648 1.23821439 -19.827576 70.944459
    Oben rechts KachelX + 1 58318 KachelY 28305 -0.34600854 1.23821439 -19.824829 70.944459
    Unten links KachelX 58317 KachelY + 1 28306 -0.34605648 1.23819874 -19.827576 70.943562
    Unten rechts KachelX + 1 58318 KachelY + 1 28306 -0.34600854 1.23819874 -19.824829 70.943562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23821439-1.23819874) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dl = 99.7061499995073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23821439-1.23819874) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dr = 99.7061499995073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34605648--0.34600854) × cos(1.23821439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326484567118006 × 6371000     		do = 99.7167905106466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34605648--0.34600854) × cos(1.23819874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326499359497657 × 6371000     		du = 99.7213084841479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23821439)-sin(1.23819874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326484567118006-0.326499359497657)×R²
    abs(-0.34600854--0.34605648)×1.47923796511296e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47923796511296e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47923796511296e-05×40589641000000     		ar = 9942.60250718346m²