Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58316 / 86612
↖ ↑ ↗
← S 49.986552°
W 19.830323°		 ← 196.38 m → S 49.986552°
W 19.827576°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
S 49.988318°
W 19.830323°		 ← 196.37 m →
38 559 m²		 S 49.988318°
W 19.827576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444919586181641 y=0.660800933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444919586181641 × 217)
    floor (0.444919586181641 × 131072)
    floor (58316.5)     		tx = 58316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660800933837891 × 217)
    floor (0.660800933837891 × 131072)
    floor (86612.5)     		ty = 86612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58316 / 86612 ti = "17/58316/86612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58316/86612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58316 ÷ 217
    58316 ÷ 131072     		x = 0.444915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86612 ÷ 217
    86612 ÷ 131072     		y = 0.660797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.11016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34610442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.32159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0103180963923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34610442} λ = -0.34610442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0103180963923))-π/2
    2×atan(0.364103141252966)-π/2
    2×0.349183205208172-π/2
    0.698366410416345-1.57079632675     		φ = -0.87242992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34610442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.830323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87242992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.986552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58316 KachelY 86612 -0.34610442 -0.87242992 -19.830323 -49.986552
    Oben rechts KachelX + 1 58317 KachelY 86612 -0.34605648 -0.87242992 -19.827576 -49.986552
    Unten links KachelX 58316 KachelY + 1 86613 -0.34610442 -0.87246074 -19.830323 -49.988318
    Unten rechts KachelX + 1 58317 KachelY + 1 86613 -0.34605648 -0.87246074 -19.827576 -49.988318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87242992--0.87246074) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dl = 196.354219999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87242992--0.87246074) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dr = 196.354219999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34610442--0.34605648) × cos(-0.87242992) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642967387205193 × 6371000     		do = 196.378790033111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34610442--0.34605648) × cos(-0.87246074) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642943782060435 × 6371000     		du = 196.371580414306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87242992)-sin(-0.87246074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642967387205193-0.642943782060435)×R²
    abs(-0.34605648--0.34610442)×2.36051447579655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36051447579655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36051447579655e-05×40589641000000     		ar = 38559.0963250826m²