Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58316 / 38430
↖ ↑ ↗
← N 59.492515°
W 19.830323°		 ← 155.05 m → N 59.492515°
W 19.827576°		 →
↑
155.01 m
↓
↑
155.01 m
↓
N 59.491121°
W 19.830323°		 ← 155.06 m →
24 034 m²		 N 59.491121°
W 19.827576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444919586181641 y=0.293201446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444919586181641 × 217)
    floor (0.444919586181641 × 131072)
    floor (58316.5)     		tx = 58316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293201446533203 × 217)
    floor (0.293201446533203 × 131072)
    floor (38430.5)     		ty = 38430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58316 / 38430 ti = "17/58316/38430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58316/38430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58316 ÷ 217
    58316 ÷ 131072     		x = 0.444915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38430 ÷ 217
    38430 ÷ 131072     		y = 0.293197631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.11016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34610442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293197631835938 × 2 - 1) × π
    0.413604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29937760110124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34610442} λ = -0.34610442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29937760110124))-π/2
    2×atan(3.66701361197346)-π/2
    2×1.30456829481923-π/2
    2.60913658963845-1.57079632675     		φ = 1.03834026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34610442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.830323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03834026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.492515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58316 KachelY 38430 -0.34610442 1.03834026 -19.830323 59.492515
    Oben rechts KachelX + 1 58317 KachelY 38430 -0.34605648 1.03834026 -19.827576 59.492515
    Unten links KachelX 58316 KachelY + 1 38431 -0.34610442 1.03831593 -19.830323 59.491121
    Unten rechts KachelX + 1 58317 KachelY + 1 38431 -0.34605648 1.03831593 -19.827576 59.491121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03834026-1.03831593) × R
    2.43300000000168e-05 × 6371000     		dl = 155.006430000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03834026-1.03831593) × R
    2.43300000000168e-05 × 6371000     		dr = 155.006430000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34610442--0.34605648) × cos(1.03834026) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507650926116087 × 6371000     		do = 155.049659770769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34610442--0.34605648) × cos(1.03831593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507671887789871 × 6371000     		du = 155.056062005496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03834026)-sin(1.03831593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507650926116087-0.507671887789871)×R²
    abs(-0.34605648--0.34610442)×2.09616737838481e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09616737838481e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09616737838481e-05×40589641000000     		ar = 24034.1904288254m²