Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58316 / 28283
↖ ↑ ↗
← N 70.964177°
W 19.830323°		 ← 99.62 m → N 70.964177°
W 19.827576°		 →
↑
99.64 m
↓
↑
99.64 m
↓
N 70.963281°
W 19.830323°		 ← 99.62 m →
9 926 m²		 N 70.963281°
W 19.827576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444919586181641 y=0.215785980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444919586181641 × 217)
    floor (0.444919586181641 × 131072)
    floor (58316.5)     		tx = 58316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215785980224609 × 217)
    floor (0.215785980224609 × 131072)
    floor (28283.5)     		ty = 28283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58316 / 28283 ti = "17/58316/28283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58316/28283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58316 ÷ 217
    58316 ÷ 131072     		x = 0.444915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28283 ÷ 217
    28283 ÷ 131072     		y = 0.215782165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.11016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34610442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215782165527344 × 2 - 1) × π
    0.568435668945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.78579332154595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34610442} λ = -0.34610442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78579332154595))-π/2
    2×atan(5.96430968661371)-π/2
    2×1.40467743136683-π/2
    2.80935486273366-1.57079632675     		φ = 1.23855854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34610442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.830323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23855854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.964177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58316 KachelY 28283 -0.34610442 1.23855854 -19.830323 70.964177
    Oben rechts KachelX + 1 58317 KachelY 28283 -0.34605648 1.23855854 -19.827576 70.964177
    Unten links KachelX 58316 KachelY + 1 28284 -0.34610442 1.23854290 -19.830323 70.963281
    Unten rechts KachelX + 1 58317 KachelY + 1 28284 -0.34605648 1.23854290 -19.827576 70.963281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23855854-1.23854290) × R
    1.56400000002055e-05 × 6371000     		dl = 99.6424400013092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23855854-1.23854290) × R
    1.56400000002055e-05 × 6371000     		dr = 99.6424400013092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34610442--0.34605648) × cos(1.23855854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.32615925633858 × 6371000     		do = 99.6174322251104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34610442--0.34605648) × cos(1.23854290) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.326174041022726 × 6371000     		du = 99.6219478482066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23855854)-sin(1.23854290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32615925633858-0.326174041022726)×R²
    abs(-0.34605648--0.34610442)×1.47846841466737e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47846841466737e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47846841466737e-05×40589641000000     		ar = 9926.34898761747m²