Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58315 / 36051
↖ ↑ ↗
← N 62.650178°
W 19.833069°		 ← 140.29 m → N 62.650178°
W 19.830323°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
N 62.648916°
W 19.833069°		 ← 140.30 m →
19 682 m²		 N 62.648916°
W 19.830323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444911956787109 y=0.275051116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444911956787109 × 217)
    floor (0.444911956787109 × 131072)
    floor (58315.5)     		tx = 58315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275051116943359 × 217)
    floor (0.275051116943359 × 131072)
    floor (36051.5)     		ty = 36051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58315 / 36051 ti = "17/58315/36051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58315/36051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58315 ÷ 217
    58315 ÷ 131072     		x = 0.444908142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36051 ÷ 217
    36051 ÷ 131072     		y = 0.275047302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444908142089844 × 2 - 1) × π
    -0.110183715820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34615235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275047302246094 × 2 - 1) × π
    0.449905395507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.41341948529736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34615235} λ = -0.34615235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41341948529736))-π/2
    2×atan(4.10998543742946)-π/2
    2×1.33212410556557-π/2
    2.66424821113113-1.57079632675     		φ = 1.09345188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34615235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.833069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09345188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.650178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58315 KachelY 36051 -0.34615235 1.09345188 -19.833069 62.650178
    Oben rechts KachelX + 1 58316 KachelY 36051 -0.34610442 1.09345188 -19.830323 62.650178
    Unten links KachelX 58315 KachelY + 1 36052 -0.34615235 1.09342986 -19.833069 62.648916
    Unten rechts KachelX + 1 58316 KachelY + 1 36052 -0.34610442 1.09342986 -19.830323 62.648916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09345188-1.09342986) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dl = 140.289419999012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09345188-1.09342986) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dr = 140.289419999012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34615235--0.34610442) × cos(1.09345188) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.459422087875991 × 6371000     		do = 140.290061380574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34615235--0.34610442) × cos(1.09342986) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.459441646326574 × 6371000     		du = 140.296033788748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09345188)-sin(1.09342986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459422087875991-0.459441646326574)×R²
    abs(-0.34610442--0.34615235)×1.95584505829349e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95584505829349e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95584505829349e-05×40589641000000     		ar = 19681.6302762211m²