Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58315 / 28347
↖ ↑ ↗
← N 70.906761°
W 19.833069°		 ← 99.89 m → N 70.906761°
W 19.830323°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 70.905863°
W 19.833069°		 ← 99.89 m →
9 979 m²		 N 70.905863°
W 19.830323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444911956787109 y=0.216274261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444911956787109 × 217)
    floor (0.444911956787109 × 131072)
    floor (58315.5)     		tx = 58315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216274261474609 × 217)
    floor (0.216274261474609 × 131072)
    floor (28347.5)     		ty = 28347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58315 / 28347 ti = "17/58315/28347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58315/28347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58315 ÷ 217
    58315 ÷ 131072     		x = 0.444908142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28347 ÷ 217
    28347 ÷ 131072     		y = 0.216270446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444908142089844 × 2 - 1) × π
    -0.110183715820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.34615235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216270446777344 × 2 - 1) × π
    0.567459106445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.78272535997027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34615235} λ = -0.34615235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78272535997027))-π/2
    2×atan(5.94603945418578)-π/2
    2×1.40417638319547-π/2
    2.80835276639094-1.57079632675     		φ = 1.23755644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34615235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.833069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23755644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.906761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58315 KachelY 28347 -0.34615235 1.23755644 -19.833069 70.906761
    Oben rechts KachelX + 1 58316 KachelY 28347 -0.34610442 1.23755644 -19.830323 70.906761
    Unten links KachelX 58315 KachelY + 1 28348 -0.34615235 1.23754076 -19.833069 70.905863
    Unten rechts KachelX + 1 58316 KachelY + 1 28348 -0.34610442 1.23754076 -19.830323 70.905863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23755644-1.23754076) × R
    1.56800000001844e-05 × 6371000     		dl = 99.897280001175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23755644-1.23754076) × R
    1.56800000001844e-05 × 6371000     		dr = 99.897280001175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34615235--0.34610442) × cos(1.23755644) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.327106392412102 × 6371000     		do = 99.8858720128815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34615235--0.34610442) × cos(1.23754076) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.327121209776163 × 6371000     		du = 99.8903966732504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23755644)-sin(1.23754076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327106392412102-0.327121209776163)×R²
    abs(-0.34610442--0.34615235)×1.48173640608373e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.48173640608373e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.48173640608373e-05×40589641000000     		ar = 9978.5529254598m²