Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58314 / 28345
↖ ↑ ↗
← N 70.908558°
W 19.835815°		 ← 99.90 m → N 70.908558°
W 19.833069°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 70.907659°
W 19.835815°		 ← 99.90 m →
9 980 m²		 N 70.907659°
W 19.833069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444904327392578 y=0.216259002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444904327392578 × 217)
    floor (0.444904327392578 × 131072)
    floor (58314.5)     		tx = 58314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216259002685547 × 217)
    floor (0.216259002685547 × 131072)
    floor (28345.5)     		ty = 28345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58314 / 28345 ti = "17/58314/28345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58314/28345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58314 ÷ 217
    58314 ÷ 131072     		x = 0.444900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28345 ÷ 217
    28345 ÷ 131072     		y = 0.216255187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444900512695312 × 2 - 1) × π
    -0.110198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34620029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216255187988281 × 2 - 1) × π
    0.567489624023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78282123376951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34620029} λ = -0.34620029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78282123376951))-π/2
    2×atan(5.94660955090691)-π/2
    2×1.40419206295148-π/2
    2.80838412590296-1.57079632675     		φ = 1.23758780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34620029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.835815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23758780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.908558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58314 KachelY 28345 -0.34620029 1.23758780 -19.835815 70.908558
    Oben rechts KachelX + 1 58315 KachelY 28345 -0.34615235 1.23758780 -19.833069 70.908558
    Unten links KachelX 58314 KachelY + 1 28346 -0.34620029 1.23757212 -19.835815 70.907659
    Unten rechts KachelX + 1 58315 KachelY + 1 28346 -0.34615235 1.23757212 -19.833069 70.907659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23758780-1.23757212) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23758780-1.23757212) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34620029--0.34615235) × cos(1.23758780) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327076757442715 × 6371000     		do = 99.8976606787919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34620029--0.34615235) × cos(1.23757212) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327091574967618 × 6371000     		du = 99.9021863323004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23758780)-sin(1.23757212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327076757442715-0.327091574967618)×R²
    abs(-0.34615235--0.34620029)×1.48175249032878e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48175249032878e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48175249032878e-05×40589641000000     		ar = 9979.73063047559m²