Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58313 / 28363
↖ ↑ ↗
← N 70.892381°
W 19.838562°		 ← 99.98 m → N 70.892381°
W 19.835815°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
N 70.891482°
W 19.838562°		 ← 99.98 m →
9 994 m²		 N 70.891482°
W 19.835815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444896697998047 y=0.216396331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444896697998047 × 217)
    floor (0.444896697998047 × 131072)
    floor (58313.5)     		tx = 58313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216396331787109 × 217)
    floor (0.216396331787109 × 131072)
    floor (28363.5)     		ty = 28363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58313 / 28363 ti = "17/58313/28363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58313/28363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58313 ÷ 217
    58313 ÷ 131072     		x = 0.444892883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28363 ÷ 217
    28363 ÷ 131072     		y = 0.216392517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444892883300781 × 2 - 1) × π
    -0.110214233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.34624823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216392517089844 × 2 - 1) × π
    0.567214965820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.78195836957635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34624823} λ = -0.34624823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78195836957635))-π/2
    2×atan(5.94148064754648)-π/2
    2×1.40405089399469-π/2
    2.80810178798938-1.57079632675     		φ = 1.23730546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34624823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.838562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23730546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.892381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58313 KachelY 28363 -0.34624823 1.23730546 -19.838562 70.892381
    Oben rechts KachelX + 1 58314 KachelY 28363 -0.34620029 1.23730546 -19.835815 70.892381
    Unten links KachelX 58313 KachelY + 1 28364 -0.34624823 1.23728977 -19.838562 70.891482
    Unten rechts KachelX + 1 58314 KachelY + 1 28364 -0.34620029 1.23728977 -19.835815 70.891482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23730546-1.23728977) × R
    1.56899999999016e-05 × 6371000     		dl = 99.9609899993732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23730546-1.23728977) × R
    1.56899999999016e-05 × 6371000     		dr = 99.9609899993732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34624823--0.34620029) × cos(1.23730546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327343555074357 × 6371000     		do = 99.9791475427505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34624823--0.34620029) × cos(1.23728977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32735838059964 × 6371000     		du = 99.9836756397812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23730546)-sin(1.23728977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327343555074357-0.32735838059964)×R²
    abs(-0.34620029--0.34624823)×1.4825525283757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4825525283757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4825525283757e-05×40589641000000     		ar = 9994.24088455313m²