Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58311 / 28375
↖ ↑ ↗
← N 70.881589°
W 19.844055°		 ← 100.03 m → N 70.881589°
W 19.841308°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 70.880690°
W 19.844055°		 ← 100.04 m →
10 006 m²		 N 70.880690°
W 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444881439208984 y=0.216487884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444881439208984 × 217)
    floor (0.444881439208984 × 131072)
    floor (58311.5)     		tx = 58311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216487884521484 × 217)
    floor (0.216487884521484 × 131072)
    floor (28375.5)     		ty = 28375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58311 / 28375 ti = "17/58311/28375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58311/28375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58311 ÷ 217
    58311 ÷ 131072     		x = 0.444877624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28375 ÷ 217
    28375 ÷ 131072     		y = 0.216484069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444877624511719 × 2 - 1) × π
    -0.110244750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.34634410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216484069824219 × 2 - 1) × π
    0.567031860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.78138312678091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34634410} λ = -0.34634410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78138312678091))-π/2
    2×atan(5.93806383645193)-π/2
    2×1.4039567173922-π/2
    2.80791343478439-1.57079632675     		φ = 1.23711711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34634410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.844055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23711711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.881589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58311 KachelY 28375 -0.34634410 1.23711711 -19.844055 70.881589
    Oben rechts KachelX + 1 58312 KachelY 28375 -0.34629616 1.23711711 -19.841308 70.881589
    Unten links KachelX 58311 KachelY + 1 28376 -0.34634410 1.23710141 -19.844055 70.880690
    Unten rechts KachelX + 1 58312 KachelY + 1 28376 -0.34629616 1.23710141 -19.841308 70.880690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23711711-1.23710141) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dl = 100.024700000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23711711-1.23710141) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dr = 100.024700000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34634410--0.34629616) × cos(1.23711711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327521522197226 × 6371000     		do = 100.033503282949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34634410--0.34629616) × cos(1.23710141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327536356203241 × 6371000     		du = 100.038033970213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23711711)-sin(1.23710141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327521522197226-0.327536356203241)×R²
    abs(-0.34629616--0.34634410)×1.48340060154295e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48340060154295e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48340060154295e-05×40589641000000     		ar = 10006.0477465739m²