Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58310 / 86460
↖ ↑ ↗
← S 49.717376°
W 19.846802°		 ← 197.48 m → S 49.717376°
W 19.844055°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.719152°
W 19.846802°		 ← 197.47 m →
39 001 m²		 S 49.719152°
W 19.844055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444873809814453 y=0.659641265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444873809814453 × 217)
    floor (0.444873809814453 × 131072)
    floor (58310.5)     		tx = 58310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659641265869141 × 217)
    floor (0.659641265869141 × 131072)
    floor (86460.5)     		ty = 86460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58310 / 86460 ti = "17/58310/86460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58310/86460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58310 ÷ 217
    58310 ÷ 131072     		x = 0.444869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86460 ÷ 217
    86460 ÷ 131072     		y = 0.659637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444869995117188 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34639204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.31927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00303168765005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34639204} λ = -0.34639204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00303168765005))-π/2
    2×atan(0.366765834519642)-π/2
    2×0.351532206546981-π/2
    0.703064413093961-1.57079632675     		φ = -0.86773191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34639204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86773191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.717376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58310 KachelY 86460 -0.34639204 -0.86773191 -19.846802 -49.717376
    Oben rechts KachelX + 1 58311 KachelY 86460 -0.34634410 -0.86773191 -19.844055 -49.717376
    Unten links KachelX 58310 KachelY + 1 86461 -0.34639204 -0.86776291 -19.846802 -49.719152
    Unten rechts KachelX + 1 58311 KachelY + 1 86461 -0.34634410 -0.86776291 -19.844055 -49.719152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86773191--0.86776291) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86773191--0.86776291) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(-0.86773191) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64655845400442 × 6371000     		do = 197.475594267655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(-0.86776291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646534804895874 × 6371000     		du = 197.468371221177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86773191)-sin(-0.86776291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64655845400442-0.646534804895874)×R²
    abs(-0.34634410--0.34639204)×2.364910854602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.364910854602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.364910854602e-05×40589641000000     		ar = 39000.9140670081m²