Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58310 / 29377
↖ ↑ ↗
← N 69.959498°
W 19.846802°		 ← 104.66 m → N 69.959498°
W 19.844055°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
N 69.958557°
W 19.846802°		 ← 104.67 m →
10 949 m²		 N 69.958557°
W 19.844055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444873809814453 y=0.224132537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444873809814453 × 217)
    floor (0.444873809814453 × 131072)
    floor (58310.5)     		tx = 58310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224132537841797 × 217)
    floor (0.224132537841797 × 131072)
    floor (29377.5)     		ty = 29377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58310 / 29377 ti = "17/58310/29377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58310/29377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58310 ÷ 217
    58310 ÷ 131072     		x = 0.444869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29377 ÷ 217
    29377 ÷ 131072     		y = 0.224128723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444869995117188 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34639204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224128723144531 × 2 - 1) × π
    0.551742553710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.73335035336161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34639204} λ = -0.34639204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73335035336161))-π/2
    2×atan(5.65958378539346)-π/2
    2×1.39590995565502-π/2
    2.79181991131003-1.57079632675     		φ = 1.22102358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34639204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22102358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.959498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58310 KachelY 29377 -0.34639204 1.22102358 -19.846802 69.959498
    Oben rechts KachelX + 1 58311 KachelY 29377 -0.34634410 1.22102358 -19.844055 69.959498
    Unten links KachelX 58310 KachelY + 1 29378 -0.34639204 1.22100716 -19.846802 69.958557
    Unten rechts KachelX + 1 58311 KachelY + 1 29378 -0.34634410 1.22100716 -19.844055 69.958557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22102358-1.22100716) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22102358-1.22100716) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(1.22102358) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342684323143197 × 6371000     		do = 104.664612982463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(1.22100716) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342699748876069 × 6371000     		du = 104.66932439834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22102358)-sin(1.22100716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342684323143197-0.342699748876069)×R²
    abs(-0.34634410--0.34639204)×1.54257328715546e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54257328715546e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54257328715546e-05×40589641000000     		ar = 10949.40208876m²