Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58310 / 28342
↖ ↑ ↗
← N 70.911252°
W 19.846802°		 ← 99.88 m → N 70.911252°
W 19.844055°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 70.910355°
W 19.846802°		 ← 99.89 m →
9 972 m²		 N 70.910355°
W 19.844055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444873809814453 y=0.216236114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444873809814453 × 217)
    floor (0.444873809814453 × 131072)
    floor (58310.5)     		tx = 58310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216236114501953 × 217)
    floor (0.216236114501953 × 131072)
    floor (28342.5)     		ty = 28342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58310 / 28342 ti = "17/58310/28342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58310/28342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58310 ÷ 217
    58310 ÷ 131072     		x = 0.444869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28342 ÷ 217
    28342 ÷ 131072     		y = 0.216232299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444869995117188 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34639204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216232299804688 × 2 - 1) × π
    0.567535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78296504446837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34639204} λ = -0.34639204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78296504446837))-π/2
    2×atan(5.94746479847768)-π/2
    2×1.40421557992204-π/2
    2.80843115984409-1.57079632675     		φ = 1.23763483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34639204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23763483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.911252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58310 KachelY 28342 -0.34639204 1.23763483 -19.846802 70.911252
    Oben rechts KachelX + 1 58311 KachelY 28342 -0.34634410 1.23763483 -19.844055 70.911252
    Unten links KachelX 58310 KachelY + 1 28343 -0.34639204 1.23761916 -19.846802 70.910355
    Unten rechts KachelX + 1 58311 KachelY + 1 28343 -0.34634410 1.23761916 -19.844055 70.910355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23763483-1.23761916) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dl = 99.8335700001476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23763483-1.23761916) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dr = 99.8335700001476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(1.23763483) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327032313835656 × 6371000     		do = 99.8840864572176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(1.23761916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327047122151664 × 6371000     		du = 99.8886092980926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23763483)-sin(1.23761916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327032313835656-0.327047122151664)×R²
    abs(-0.34634410--0.34639204)×1.48083160084744e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48083160084744e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48083160084744e-05×40589641000000     		ar = 9972.01070298529m²