Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58310 / 28340
↖ ↑ ↗
← N 70.913049°
W 19.846802°		 ← 99.88 m → N 70.913049°
W 19.844055°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 70.912151°
W 19.846802°		 ← 99.88 m →
9 977 m²		 N 70.912151°
W 19.844055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444873809814453 y=0.216220855712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444873809814453 × 217)
    floor (0.444873809814453 × 131072)
    floor (58310.5)     		tx = 58310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216220855712891 × 217)
    floor (0.216220855712891 × 131072)
    floor (28340.5)     		ty = 28340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58310 / 28340 ti = "17/58310/28340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58310/28340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58310 ÷ 217
    58310 ÷ 131072     		x = 0.444869995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28340 ÷ 217
    28340 ÷ 131072     		y = 0.216217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444869995117188 × 2 - 1) × π
    -0.110260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34639204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216217041015625 × 2 - 1) × π
    0.56756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78306091826761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34639204} λ = -0.34639204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78306091826761))-π/2
    2×atan(5.94803503185854)-π/2
    2×1.40423125612695-π/2
    2.80846251225389-1.57079632675     		φ = 1.23766619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34639204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23766619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.913049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58310 KachelY 28340 -0.34639204 1.23766619 -19.846802 70.913049
    Oben rechts KachelX + 1 58311 KachelY 28340 -0.34634410 1.23766619 -19.844055 70.913049
    Unten links KachelX 58310 KachelY + 1 28341 -0.34639204 1.23765051 -19.846802 70.912151
    Unten rechts KachelX + 1 58311 KachelY + 1 28341 -0.34634410 1.23765051 -19.844055 70.912151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23766619-1.23765051) × R
    1.56800000001844e-05 × 6371000     		dl = 99.897280001175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23766619-1.23765051) × R
    1.56800000001844e-05 × 6371000     		dr = 99.897280001175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(1.23766619) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327002678062267 × 6371000     		do = 99.8750349291998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34639204--0.34634410) × cos(1.23765051) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327017495989162 × 6371000     		du = 99.879560705487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23766619)-sin(1.23765051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327002678062267-0.327017495989162)×R²
    abs(-0.34634410--0.34639204)×1.4817926895172e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4817926895172e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4817926895172e-05×40589641000000     		ar = 9977.47038602128m²