Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58309 / 86451
↖ ↑ ↗
← S 49.701391°
W 19.849548°		 ← 197.50 m → S 49.701391°
W 19.846802°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 49.703168°
W 19.849548°		 ← 197.49 m →
39 018 m²		 S 49.703168°
W 19.846802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444866180419922 y=0.659572601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444866180419922 × 217)
    floor (0.444866180419922 × 131072)
    floor (58309.5)     		tx = 58309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659572601318359 × 217)
    floor (0.659572601318359 × 131072)
    floor (86451.5)     		ty = 86451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58309 / 86451 ti = "17/58309/86451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58309/86451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58309 ÷ 217
    58309 ÷ 131072     		x = 0.444862365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86451 ÷ 217
    86451 ÷ 131072     		y = 0.659568786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444862365722656 × 2 - 1) × π
    -0.110275268554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.34643997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659568786621094 × 2 - 1) × π
    -0.319137573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.00260025555347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34643997} λ = -0.34643997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00260025555347))-π/2
    2×atan(0.366924103211225)-π/2
    2×0.351671702533743-π/2
    0.703343405067486-1.57079632675     		φ = -0.86745292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34643997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.849548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86745292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.701391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58309 KachelY 86451 -0.34643997 -0.86745292 -19.849548 -49.701391
    Oben rechts KachelX + 1 58310 KachelY 86451 -0.34639204 -0.86745292 -19.846802 -49.701391
    Unten links KachelX 58309 KachelY + 1 86452 -0.34643997 -0.86748393 -19.849548 -49.703168
    Unten rechts KachelX + 1 58310 KachelY + 1 86452 -0.34639204 -0.86748393 -19.846802 -49.703168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86745292--0.86748393) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86745292--0.86748393) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34643997--0.34639204) × cos(-0.86745292) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646771260391347 × 6371000     		do = 197.499385018652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34643997--0.34639204) × cos(-0.86748393) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646747609248461 × 6371000     		du = 197.492162857649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86745292)-sin(-0.86748393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646771260391347-0.646747609248461)×R²
    abs(-0.34639204--0.34643997)×2.36511428852726e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36511428852726e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36511428852726e-05×40589641000000     		ar = 39018.195307449m²