Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58308 / 86468
↖ ↑ ↗
← S 49.731581°
W 19.852295°		 ← 197.42 m → S 49.731581°
W 19.849548°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
S 49.733356°
W 19.852295°		 ← 197.41 m →
38 964 m²		 S 49.733356°
W 19.849548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444858551025391 y=0.659702301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444858551025391 × 217)
    floor (0.444858551025391 × 131072)
    floor (58308.5)     		tx = 58308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659702301025391 × 217)
    floor (0.659702301025391 × 131072)
    floor (86468.5)     		ty = 86468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58308 / 86468 ti = "17/58308/86468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58308/86468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58308 ÷ 217
    58308 ÷ 131072     		x = 0.444854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86468 ÷ 217
    86468 ÷ 131072     		y = 0.659698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.11029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34648791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.31939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00341518284702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34648791} λ = -0.34648791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00341518284702))-π/2
    2×atan(0.36662520855011)-π/2
    2×0.351408248651086-π/2
    0.702816497302171-1.57079632675     		φ = -0.86797983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34648791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86797983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.731581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58308 KachelY 86468 -0.34648791 -0.86797983 -19.852295 -49.731581
    Oben rechts KachelX + 1 58309 KachelY 86468 -0.34643997 -0.86797983 -19.849548 -49.731581
    Unten links KachelX 58308 KachelY + 1 86469 -0.34648791 -0.86801081 -19.852295 -49.733356
    Unten rechts KachelX + 1 58309 KachelY + 1 86469 -0.34643997 -0.86801081 -19.849548 -49.733356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86797983--0.86801081) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86797983--0.86801081) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(-0.86797983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646369304782345 × 6371000     		do = 197.417823226532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34648791--0.34643997) × cos(-0.86801081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646345665966374 × 6371000     		du = 197.410603323672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86797983)-sin(-0.86801081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646369304782345-0.646345665966374)×R²
    abs(-0.34643997--0.34648791)×2.36388159713385e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36388159713385e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36388159713385e-05×40589641000000     		ar = 38964.3500201975m²